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| Fig. 1. Red de dos puertos |
En este nuevo artículo me centraré en otro aspecto fundamental del diseño de sistemas de radiofrecuencia: la ganancia de potencia. Seguiré considerando el transistor como una "caja negra" modelada por sus parámetros scattering a la frecuencia de interés e introduciré una serie de figuras de mérito para llegar a diseñar redes de adaptación de impedancia que permitan maximizar la potencia entregada a la carga.
La ganancia (o atenuación) de una red de dos puertos, como la que se muestra en la Figura 1, puede deducirse comparando la potencia entrante P1 en la red y la potencia PL que sale de la red y se disipa en la carga y pueden definirse como:
Donde
V1 = Z1I1, V2 = ZLI2
, y las partes reales de las impedancias de entrada y de carga R1 = Re{Z1}, RL =Re{ ZL}.
La máxima potencia que la fuente puede
entregar a una carga se denomina potencia disponible (available power) de la fuente PavS y se obtiene cuando
se realiza una adaptación conjugada entre carga y fuente de señal; es decir, PavS
= P1 cuando Z1 = Z*G.
De
forma análoga es posible definir la potencia disponible de la red de dos
puertos PavL, es decir, la máxima potencia que la red puede entregar a una
carga. Esta condición se da cuando existe adaptación conjugada entre el puerto
de salida de la red y la impedancia de carga; en otras palabras, PavL = PL
cuando ZL = Z*2.
La
potencia disponible puede expresarse en función de la impedancia característica
y de los coeficientes de reflexión en le fuente y en la carga:
Tres definiciones muy útiles para la ganancia de potencia de una red de dos puertos son la ganancia de potencia de transducción GT, la ganancia de potencia disponible Ga, y la ganancia de potencia Gp, conocida también como ganancia operativa. Estas potencias se definen como se muestra a continuación:
Estas ganancias pueden expresarse en términos de parámetros
scattering:
La ganancia de potencia de transducción GT es probablemente la medida de ganancia de una
red de dos puertos más representativa
porque incorpora los efectos de las impedancias de fuente y carga, mientras que Ga depende sólo de la impedancia de fuente y Gp depende
sólo de la impedancia de carga.
El caso de la ganancia de potencia de transducción se representa en la Figura 2, en la que una fuente y una carga con la misma impedancia característica Z0 están adaptadas a la red de dos puertos mediante dos redes de adaptación genéricas cuyos coeficientes de reflexión están representados en la figura.
La expresión de GT obtenida previamente puede expresarse de forma alternativa con unas manipulaciones algebraicas del denominador muy sencillas. Poniendo a factor común (1-s22ΓL ) y observando que:
se obtiene:
De forma análoga, poniendo a factor común (1-s11ΓS ) y observando que:
se obtiene:
De todas maneras, independientemente de la forma en la que es posible expresar la ganancia de transducción GT, su expresión resultará siempre dependiente (directa o indirectamente) de los coeficientes de reflexión ΓS y ΓL que resultan ser pues parámetros arbitrarios.
Para calcular la ganancia operativa Gp hay que considerar la red que se representa en la Figura 3, en la que la red de adaptación de impedancia de entrada es diseñada de manera que se realice una adaptación de tipo conjugado entre la fuente de señal y la red de dos puertos; es decir, ΓS = Γ*1. En otras palabras, la ganancia operativa es la ganancia de un dispositivo bajo la asunción de adaptación conjugada en el puerto de entrada y de una adaptación arbitraría en el puerto de salida que permita alcanzar la ganancia deseada.
La expresión de la ganancia operativa Gp se obtiene pues de la ganancia de transducción GT sustituyendo la condición de adaptación de impedancia del puerto de entrada de la red; es decir, imponiendo en la expresión de GT la condición ΓS = Γ*1. Queda evidente que en este caso la expresión de la ganancia es independiente de ΓS y el único parámetro arbitrario es el coeficiente de reflexión en la carga ΓL.
La expresión de la ganancia operativa Gp obtenida con anterioridad puede reescribirse de forma alternativa sustituyendo la expresión de Γ1 y realizando una serie de simples manipulaciones algebraicas sobre el denominador de la función, obteniendo:
Donde Δ=s11s22-s12s21.
Para calcular la ganancia de potencia disponible Ga hay que considerar la red que se representa en la Figura 4, en la que la red de adaptación de impedancia de salida es diseñada de manera que se realice una adaptación de tipo conjugado entre la red de dos puertos y la impedancia de carga; es decir, ΓL = Γ*2. En otras palabras, la ganancia de potencia disponible es la ganancia de un dispositivo bajo la asunción de adaptación conjugada en el puerto de salida y de una adaptación arbitraria en el puerto de entrada que permita alcanzar la ganancia deseada.
La expresión de la ganancia de potencia disponible Ga se obtiene pues de la ganancia de transducción GT sustituyendo la condición de adaptación de impedancia del puerto de salida de la red; es decir, imponiendo en la expresión de GT la condición ΓL = Γ*2. Queda evidente que en este caso la expresión de la ganancia es independiente de ΓL y el único parámetro arbitrario es el coeficiente de reflexión en la carga ΓS.
La expresión de la ganancia de potencia disponible Ga obtenida con anterioridad puede reescribirse de forma alternativa sustituyendo la expresión de Γ2 y realizando una serie de simples manipulaciones algebraicas sobre el denominador de la función, obteniendo:
Donde Δ=s11s22-s12s21.
Si un circuito es potencialmente inestable una adaptación de tipo conjugado podría no ser posible (es este el caso en que la impedancia conjugada cae en la región de inestabilidad). En este caso hay que optar por una adaptación arbitraria evitando de entrar en una región de inestabilidad.
Si las impedancias de fuente y carga están adaptadas a la impedancia de referencia Z0 de manera que ZS=ZL= Z0, (es decir, cuando ΓS = ΓL = 0), Γ1 = s11, Γ2 = s22, entonces las ganancias de potencia se reducen a:
El caso de la ganancia de potencia de transducción se representa en la Figura 2, en la que una fuente y una carga con la misma impedancia característica Z0 están adaptadas a la red de dos puertos mediante dos redes de adaptación genéricas cuyos coeficientes de reflexión están representados en la figura.
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| Fig. 2. Estructura de la red de dos puertos para el cálculo de GT |
De forma análoga, poniendo a factor común (1-s11ΓS ) y observando que:
se obtiene:
De todas maneras, independientemente de la forma en la que es posible expresar la ganancia de transducción GT, su expresión resultará siempre dependiente (directa o indirectamente) de los coeficientes de reflexión ΓS y ΓL que resultan ser pues parámetros arbitrarios.
Para calcular la ganancia operativa Gp hay que considerar la red que se representa en la Figura 3, en la que la red de adaptación de impedancia de entrada es diseñada de manera que se realice una adaptación de tipo conjugado entre la fuente de señal y la red de dos puertos; es decir, ΓS = Γ*1. En otras palabras, la ganancia operativa es la ganancia de un dispositivo bajo la asunción de adaptación conjugada en el puerto de entrada y de una adaptación arbitraría en el puerto de salida que permita alcanzar la ganancia deseada.
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| Fig. 3. Estructura de la red de dos puertos para el cálculo de Gp |
La expresión de la ganancia operativa Gp obtenida con anterioridad puede reescribirse de forma alternativa sustituyendo la expresión de Γ1 y realizando una serie de simples manipulaciones algebraicas sobre el denominador de la función, obteniendo:
Donde Δ=s11s22-s12s21.
Para calcular la ganancia de potencia disponible Ga hay que considerar la red que se representa en la Figura 4, en la que la red de adaptación de impedancia de salida es diseñada de manera que se realice una adaptación de tipo conjugado entre la red de dos puertos y la impedancia de carga; es decir, ΓL = Γ*2. En otras palabras, la ganancia de potencia disponible es la ganancia de un dispositivo bajo la asunción de adaptación conjugada en el puerto de salida y de una adaptación arbitraria en el puerto de entrada que permita alcanzar la ganancia deseada.
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| Fig. 4. Estructura de la red de dos puertos para el cálculo de Ga |
La expresión de la ganancia de potencia disponible Ga obtenida con anterioridad puede reescribirse de forma alternativa sustituyendo la expresión de Γ2 y realizando una serie de simples manipulaciones algebraicas sobre el denominador de la función, obteniendo:
Donde Δ=s11s22-s12s21.
Si un circuito es potencialmente inestable una adaptación de tipo conjugado podría no ser posible (es este el caso en que la impedancia conjugada cae en la región de inestabilidad). En este caso hay que optar por una adaptación arbitraria evitando de entrar en una región de inestabilidad.
Si las impedancias de fuente y carga están adaptadas a la impedancia de referencia Z0 de manera que ZS=ZL= Z0, (es decir, cuando ΓS = ΓL = 0), Γ1 = s11, Γ2 = s22, entonces las ganancias de potencia se reducen a:
Una red de dos puertos unilateral tiene, por definición, un coeficiente de transmisión inverso igual a cero, es decir, s12=0. También en este caso los coeficientes de reflexión en entrada y salida de la red calculados previamente se simplifican reduciéndose a Γ1 = s11 y Γ2 = s22. Por consiguiente, las expresiones de las ganancias unilaterales resultan ser:
Tanto
para el caso bilateral como para el unilateral, las ganancias Ga y Gp
se pueden obtener de GT imponiendo ΓL = Γ*2 y Γ1 = Γ*S respectivamente.
Para calcular la ganancia de potencia disponible Ga hay que considerar la red que se representa en la Figura 5 observando que la ganancia de transducción unilateral GTu puede expresarse como:
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| Fig. 5. Estructura de la red de dos puertos para el cálculo de GTu |
Para calcular la ganancia de potencia disponible Ga hay que considerar la red que se representa en la Figura 5 observando que la ganancia de transducción unilateral GTu puede expresarse como:
Donde GS representa la ganancia de la red de adaptación entre red y fuente, G0 la ganancia de la red de dos puertos, y GL la ganancia de la red de adaptación de impedancia entre red de dos puertos y carga.
La máxima ganancia unilateral se alcanza mediante adaptación conjugada, es decir cuando ΓS = s*11 y ΓL = s*22, lo que lleva a los siguientes valores máximos para GS, GL y para la ganancia de transducción GT:
Tal y como en el caso del problema de la estabilidad que traté en mi anterior artículo, también para abordar el problema de la transmisión de potencia entre una fuente de señal y una carga utilizando la carta de Smith. Es posible definir unos círculos de ganancia operativa constante de centro Cp y radio Rp definidos tal y como se muestra a continuación:
El término gp representa la relación entre la ganancia Gp (expresada en valor absoluto) que se pretende alcanzar con la red de adaptación de impedancia y el cuadrado del módulo de la ganancia directa s21 . Un círculo de ganancia operativa constante es, por tanto, el lugar geométrico de todas las posibles impedancias de carga que resultan en una ganancia operativa constante igual a Gp, cuando el puerto de entrada es adaptado de forma conjugada con la impedancia de la fuente de señal.
La máxima ganancia unilateral se alcanza mediante adaptación conjugada, es decir cuando ΓS = s*11 y ΓL = s*22, lo que lleva a los siguientes valores máximos para GS, GL y para la ganancia de transducción GT:
Tal y como en el caso del problema de la estabilidad que traté en mi anterior artículo, también para abordar el problema de la transmisión de potencia entre una fuente de señal y una carga utilizando la carta de Smith. Es posible definir unos círculos de ganancia operativa constante de centro Cp y radio Rp definidos tal y como se muestra a continuación:
El término gp representa la relación entre la ganancia Gp (expresada en valor absoluto) que se pretende alcanzar con la red de adaptación de impedancia y el cuadrado del módulo de la ganancia directa s21 . Un círculo de ganancia operativa constante es, por tanto, el lugar geométrico de todas las posibles impedancias de carga que resultan en una ganancia operativa constante igual a Gp, cuando el puerto de entrada es adaptado de forma conjugada con la impedancia de la fuente de señal.
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| Fig. 6. Círculos de ganancia operativa constante |
La Figura 6 muestra los círculos de ganancia operativa constante ara tres posibles ganancias objetivo g3<g2<g1. Observe como, al aumentar de la ganancia objetivo el radio del círculo de ganancia se reduce. El círculo que corresponde a la máxima ganancia operativa podría llegar a ser, en el caso de que fuera posible adaptación conjugada, simplemente un punto. La máxima ganancia operativa no puede exceder la máxima ganancia disponible GMAG que definiré más adelante.
Observe también que el centro Cp del círculo de ganancia es un número complejo y, por consiguiente, su módulo y fase identificarán de forma unívoca el centro del círculo de ganancia en el plano complejo. Tenga también presente que Re{Cp} no puede ser mayor que 1, por tanto el centro del círculo de ganancia cae siempre dentro la carta de Smith. Por otro lado, el radio Rp del círculo de ganancia en un número non negativo menor o igual a 1. Esto significa que pueden existir casos en los que parte del círculo de ganancia podría yacer fuera de la carta de Smith. Esto significa que algunas de las impedancias del círculo considerado tienen parte real negativa y llevan a un comportamiento inestable.
De forma análoga es posible definir unos círculos de ganancia disponible constante. Se trata del lugar geométrico de todas las posibles impedancias de fuente que resultan en una ganancia disponible constante Ga, cuando el puerto de salida es adaptado de forma conjugada con la impedancia de carga. Un círculo de ganancia disponible constante es caracterizado por un centro Ca y un radio Ra definidos tal y como se muestra a continuación:
Para el círculo de ganancia disponible constante valen exactamente las mismas consideraciones hechas por el círculo de ganancia operativa constante.
La ganancia de transducción es maximizada cuando los dos puertos de la red están adaptados simultáneamente de forma conjugada con fuente y carga, es decir, cuando ΓL = Γ*2 y Γ1 = Γ*S. En estas condiciones las tres ganancias son iguales y es posible definir una máxima ganancia común obtenida por la adaptación conjugada simultánea de los puertos de entrada y salida de la red que se conoce también como máxima ganancia disponible (Maximum Available Gain –MAG) :
GT,max = Ga,max = Gp,max = GMAG
La
condición necesaria y suficiente para la adaptación simultánea de los puertos
de la red es K ≥ 1, siendo K el factor de estabilidad de Stern (introducido en mi artículo anterior sobre la estabilidad de redes de dos puertos). Se puede demostrar
que el MAG puede expresarse como:
Si K£1 la red de dos puertos es potencialmente inestable y no es posible garantizar la adaptación conjugada simultánea de los puertos de entrada y salida de la red ya que una (o incluso ambas) de las impedancias conjugadas podría caer dentro de una región de inestabilidad de la carta de Smith. Esto no significa en absoluto que el circuito no pueda realizarse físicamente, sino que hay que realizar un tipo de adaptación arbitrario en unos o ambos puertos del circuito. Obviamente, para circuitos potencialmente inestables, la definición anterior de GMAG no es válida y hay que buscar una definición alternativa de ganancia.
La máxima ganancia estable (Maximum
Stable Gain –MSG) es la MAG calculada para K£1, es decir:
En el caso de un dispositivo
unilateral, el MAG se obtiene imponiendo ΓS = Γ*1= s*11 y ΓL = Γ*2= s*22 en las
expresiones de las ganancias unilaterales:
A menudo, las redes de dos puertos
como los transistores a las radiofrecuencias o a las microondas son
aproximadamente unilaterales, es decir, los parámetros scattering medidos
cumplen con el requisitos |S12|<<|S21|.
Para decidir si una red de dos puertos puede considerarse unilateral existe una
figura de mérito que es, en su esencia, una comparación entre la máxima
ganancia unilateral y la ganancia del transductor de un dispositivo bajo las
mismas condiciones de adaptación de impedancia; es decir, ΓS =
s*11 y ΓL = s*22. Para estos valores adaptados de ΓS y ΓL, la relación entre las ganancias de transductor unilateral y
bilateral es de la forma:
La cantidad |U| se conoce con el
nombre de figura de mérito unilateral. Si el ratio de ganancia relativa gu
es aproximadamente unitario (típicamente dentro de un rango de variación del ±10% de la unidad), la red de dos puertos puede tratarse como una red
unilateral, es decir, debe ser:
Finalmente, es posible definir unos círculos de ganancia unilateral constante tanto para el plano de la fuente como para el plano de la carga. Los círculos de ganancia unilateral constante en el plano de la fuente tienen, respectivamente un radio RSu y un centro CSu definidos de la siguiente manera:
Análogamente, un círculo de ganancia unilateral constante en el plano de carga es caracterizado por los siguientes valores de radio y centro de la circunferencia:
Finalmente, es posible definir unos círculos de ganancia unilateral constante tanto para el plano de la fuente como para el plano de la carga. Los círculos de ganancia unilateral constante en el plano de la fuente tienen, respectivamente un radio RSu y un centro CSu definidos de la siguiente manera:
Análogamente, un círculo de ganancia unilateral constante en el plano de carga es caracterizado por los siguientes valores de radio y centro de la circunferencia:
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