Algunas Reflexiones sobre la Estabilidad de los Transistores

Cuando se diseña un amplificador, el objetivo principal es evitar que el circuito se vuelva inestable produciendo oscilaciones no deseadas. La técnica estándar que se utiliza para diseñar circuitos estables se basa en calcular una figura de mérito conocida como factor K, que equivale a determinar sobre la carta de Smith los que se conocen como círculos de estabilidad.

Los orígenes del factor K pueden remontarse al artículo de J. M. Rollet "Stability and Power-Gain Invariants of Linear Twoports” publicado en la IRE Transactions on Circuit Theory en marzo de 1962. Por ello, muchos se refieren a este factor como factor de estabilidad de Rollet. No obstante, en su artículo, Rollet se limitó a realizar algunas transformaciones matemáticas sobre una expresión previamente derivada por A. P. Stern en 1957. Por esta razón, otros, entre los que me incluyo yo también, se refieren al factor K como factor de estabilidad de Stern. 

Cabe remarcar que la ecuación derivada en su tiempo por Stern y revisitada por Rollet no se expresó, como es común hoy en día, en función de los parámetros scattering del dispositivo. El criterio de estabilidad comúnmente aceptado y utilizado en la actualidad consiste en comprobar el valor de dos factores:

K > 1        |Δ|<1

Siendo K el factor de estabilidad de Stern, definido como:

y Δ=det(S) el determinante de la matriz scattering S; es decir:

El cumplimiento  de estos criterios garantiza, en la mayor parte de los casos, que la red de dos puertos analizada sea incondicionalmente  estable; aunque es probable que lleven a conclusiones equivocadas en el caso de amplificadores multietapa con topologías complejas.

Existen criterios alternativos al anterior, que, sin embargo gozan de menor aceptación, para determinar la estabilidad de una red lineal de dos puertos. Uno de los más conocidos es el criterio de Edwards y Sinsky, que consiste en determinar uno entre dos factores de estabilidad, μ₁ o μ₂, respectivamente en el puerto de entrada de la red lineal o en el puerto de salida de la red):

y comprobar que  μ₁>1 o, equivalentemente μ₂>1. Sin embargo, también este criterio puede derivarse a partir del criterio de estabilidad de Stern.

Fig. 1.  Conexión de una red lineal con una fuente y una carga

Cuando una red lineal de dos puertos se conecta a una fuente y a una carga tal y como se muestra en la Figura 1 es posible expresar el coeficiente de reflexión Γ₁ en el puerto de entrada en función de los parámetros scattering de la red y del coeficiente de reflexión en la carga Γ_L=(Z_L-Z₀)/(Z_L+Z₀). De forma análoga es posible expresar el coeficiente de reflexión Γ₂ en el puerto de salida en función de los parámetros scattering de la red y del coeficiente de reflexión en la fuente Γ_S=(Z_S-Z₀)/(Z_S+Z₀); es decir:

En general, una red de dos puertos es incondicionalmente estable si cualquiera impedancia de la fuente y de la carga con partes reales positivas R_S y R_L llevará siempre a una impedancias de entrada y de salida (es decir, las impedancias Z₁ y Z₂ que se ven respectivamente desde los puertos "1" y "2" de la red de dos puertos) con partes reales positivas R₁ y R₂ respectivamente. De forma equivalente, los requisitos para la estabilidad incondicional se pueden expresar también en función de los coeficientes de reflexión. La estabilidad incondicional requiere que cualquier cargas y fuentes con |Γ_L|<1 y |Γ_S|<1 resulte en |Γ₁|<1 y |Γ₂|<1.

Por otro lado, una red de dos puertos se denomina potencialmente o condicionalmente inestable si existen algunos valores de cargas y fuentes con |Γ_L|<1 y |Γ_S|<1 que resultan en |Γ₁|≥ 1 y |Γ₂|≥ 1.

Fig. 2. Círculo de estabilidad

La región de estabilidad de carga es el conjunto de todos los Γ_L que resultan en |Γ₁|<1 y la región de estabilidad de fuente es el conjunto de todos los Γ_S que resultan en |Γ₂|<1. En el caso de estabilidad incondicional, las regiones de estabilidad de fuente y carga contienen completamente los círculos de radio unitario |Γ_L|<1 y |Γ_S|<1. Sin embargo, en el caso de una configuración potencialmente inestable, sólo unas porciones del círculo de radio unitario puede hallarse en la región de estabilidad, por tanto sólo aquellos valores de Γ_L y Γ_S que se hallan en la región de estabilidad llevarán a una impedancias de fuente y de carga estables.

La Figura 2 muestra el significado geométrico de los círculos y las regiones de estabilidad. El círculo de estabilidad puede definirse tanto para una impedancia fuente como para la impedancia de carga. En el caso de una impedancia de carga, el círculo de estabilidad tiene un radio r_L y un centro C_L definido respecto al centro de la carta de Smith (por tanto se trata, tal y como se muestra en la Figura 2, de un número complejo) . Los valores de r_L y C_L pueden calcularse a partir de los parámetros scattering del dispositivo tal y como se muestra a continuación:

De forma análoga es posible definir los círculos de estabilidad de fuente con radio r_S y C_S respectivamente:

Los círculos de estabilidad definen una región de estabilidad que puede ser interna o externa al círculo. En en caso de los círculos de estabilidad de carga, la región de estabilidad es:

• externa al círculo de estabilidad (es decir, |Γ_L-C_L|>r_L) si |s₂₂|²-|Δ|²>0;
• interna al círculo de estabilidad (es decir, |Γ_L-C_L|<r_L) si |s₂₂|²-|Δ|²<0.

En el caso de los círculos de estabilidad de fuente, la región de estabilidad es:

• externa al círculo de estabilidad (es decir, |Γ_S-C_S|>r_S) si |s₁₁|²-|Δ|²>0;
• interna al círculo de estabilidad (es decir, |Γ_S-C_S|<r_S) si |s₁₁|²-|Δ|²<0.

El contorno del círculo corresponde al caso en que el coeficiente de reflexión (en el puerto de entrada o de salida, dependiendo de si se está considerando el círculo de fuente o de carga) vale 1. La región complementaria corresponde al caso en el que el coeficiente de reflexión es mayor que 1 (es decir, la región inestable).

Por consiguiente, la región estable se halla dentro del círculo de estabilidad cuando el centro de la carta de Smith cae dentro del círculo y fuera del círculo de estabilidad en caso contrario. Si el círculo cae completamente fuera de la carta de Smith o lo contienen completamente la red de dos puertos es incondicionalmente estable. Todas estas situaciones se representan en la Figura 3.

Figura 3. Círculos y regiones de estabilidad. Las Figuras (b) y (c) representan los dos casos de redes de dos puertos incondicionalmente estables. Las Figuras (a), (d), (e) y (f) representan redes de dos puertos potencialmente inestables

Si se consideran los círculos de estabilidad de carga, la Figura 3(c) representa el caso en que |C_L|-r_L>1 (el círculo de estabilidad no contiene el centro de la carta de Smith) y |s₂₂|²-|Δ|²>0, la Figura 3(b) representa el caso en que r_L-|C_L|>1 (el círculo de estabilidad contiene el centro de la carta de Smith)y |s₂₂|²-|Δ|²<0, las Figuras 3(a) y 3(e) representan el caso en que |C_L|-r_L<1 y |s₂₂|²-|Δ|²>0; finalmente, las Figuras 3(d) y 3(f) representan el caso en que r_L-|C_L|<1 y |s₂₂|²-|Δ|²<0.