Los dBs son Sencillos

El decibelio (dB) es una fracción de una unidad mayor llamada Bel (belio). Un Bel (llamado así en honor de Alexander Graham Bell), por definición, representa una relación de 10 a 1 entre las potencias de dos señales. Por consiguiente una relación 10:1 es igual a 1 Bel, una relación de 100:1 es igual a 2 Bel y una relación de 1000:1 es igual a 3 Bel. 

De acuerdo con su definición, es evidente que el Bel representa una relación logarítmica entre dos potencias ya que $log$₁₀10=1 (es decir, 1 Bel), $log$₁₀100=2 (es decir, 2 Bel), $log$₁₀1000=3 (es decir, 3 Bel). Por consiguiente una relación de potencias expresada en belios puede calcularse a partir de la fórmula siguiente:

$Bel=log$₁₀(P₂/P₁)

donde P₂/P₁ representa la relación entre dos potencias.

Utilizar el Bel para expresar una relación de potencias tiene el inconveniente de que se trata de una unidad muy grande. A fines práctico, es mucho más sencillo utilizar el decibelio o dB. Por definición 10 dB son equivalentes a 1 Bel, consecuentemente, una relación de potencias de 10:1 es igual a 10 dB, una relación de 100:1 es igual a 20 dB y una relación de 1000:1 es igual a 30 dB, etc. Por consiguiente una relación de potencias expresada en belios puede calcularse a partir de la fórmula siguiente:

$dB=10\; log$₁₀(P₂/P₁)

Cabe remarcar que la relación de potencias P₂/P₁ no debe necesariamente ser mayor que la unidad. P₁ suele ser la potencia de referencia; por consiguiente, la relación expresa cuanto una potencia P₂ es mayor (en el caso en que (P₂/P₁)>1) o menor (en el caso en que (P₂/P₁)<1) de una potencia de referencia. Obviamente, cuando la relación de potencias P₂/P₁ es inferior a la unidad, el proceso de conversión a belios o decibelios da un resultado negativo. Por ejemplo, si P₂=0.1P₁, la conversión en dB es:

(P₂/P₁)$$_dB =10 log₁₀(0.1/1) =-10 dB

Quede claro que el decibelio no es una unidad de medida, ni mide una potencia; se trata, en vez, de una relación o comparación entre dos valores de potencia. En electrónica y telecomunicaciones se suelen expresar los niveles de potencias en dB respecto a una potencia de referencia fija, siendo  1 mW y 1 W los niveles de referencia más utilizados.

Cuando se expresa un nivel de potencia referido a 1 mW se suele hablar de dBm (dB-milivatio); por definición un dBm es:

$dBm=10\; log$₁₀(P₂/1 mW)

Análogamente, cuando se expresa un nivel de potencia referido a 1 W se suele hablar de dBW (dB-vatio); por definición un dBW es:

$dBm=10\; log$₁₀(P₂/1 W)

Por ejemplo, una potencia de 1 mW equivale a 0 dBm, una potencia de 10 mW equivale a 10 dBm y una potencia de 1 W equivale a 0 dBW o 30 dBm.

En las telecomunicaciones, además de 1 mW y 1 W, existen también otras otros niveles de referencia respecto a los que es posible expresar una potencia o una intensidad. Los más utilizados son:

• dBc (dB-carrier): indica el nivel de potencia relativo de ruido o de una banda lateral referidos a la potencia de portadora.
• dBμV/m: indica la intensidad del campo eléctrico referida a un campo eléctrico de 1 μV/m.
• dBi (dB-isotropic): la ganancia de antena referida a la de un radiador isótropo; es decir, un radiador que distribuye uniformemente su energía en todas las direcciones.

Asimismo, es posible expresar el ancho de banda de una señal respecto a un ancho de banda de referencia utilizando el dB-Hz (dB-hercio). el dB-Hz representa la banda de una señal relativa a 1 Hz. Por ejemplo, 30 dB-Hz equivalen a un ancho de banda de 1 KHz. Los anchos de bandas expresados en dB-Hz se utilizan normalmente en los balances de enlace (link budget) y en las comunicaciones satelitales para expresar la relación C/kT entre la potencia de portadora C y la densidad de potencia de ruido del receptor kT (carrier-to-receiver noise density), donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura de ruido de sistema.

La utilidad de expresar las relaciones de potencias en dB es evidente, ya que utilizar decibelios permite aprovechar las propiedades de los logaritmos y sumas y restas en vez de estar dividiendo y multiplicando por los factores de pérdidas o de ganancia de un sistema. Considere, por ejemplo, el sistema de telecomunicación sencillo representado en la Figura 1.

Fig. 1. Sistema de Telecomunicación Sencillo

El subsistema de transmisión se compone de un amplificador con una ganancia de potencia  $G$_amp=100 W que equivale a 50 dBm, una línea de transmisión con pérdidas que conecta la salida del amplificador con una antena transmisora con ganancia de 15 dBi. El subsistema de recepción es análogo. La antena receptora tiene la misma ganancia de la transmisora, mientras que la línea de transmisión que conecta la antena al amplificador introduce unas pérdidas de inserción (insertion loss) de 2 dB.

El objetivo es calcular la potencia recibida $P$_r sabiendo que el medio de transmisión introduce unas pérdidas de 137 dBm. Expresando pérdidas y ganancias en decibelios es inmediato y sencillo obtener el resultado:

$P$_r =50 dBm -1 dB + 15 dBi - 137 dBm + 15 dBi - 2 dB = -60 dBm

que equivale a una potencia recibida de 1 nW. 

Es posible expresar en decibelios también relaciones de corrientes y de tensiones recordando que P=I²R=V²/R. Sustituyendo estas expresiones en la definición de decibelio, por los dB de tensión se obtiene:

$dB=10\; log$₁₀(V₂/V₁)²=$20\; log$₁₀(V₂/V₁)

Análogamente, para las corrientes se obtiene:

$dB=10\; log$₁₀(I₂/I₁)²=$20\; log$₁₀(I₂/I₁)

Las expresiones anteriores se han calculado asumiendo implícitamente que las resistencias R₁ y R₂, en las que se calculan las potencia P₁ y  P₂, son iguales. En estas condiciones resulta:

dB=$10\; log$₁₀(P₂/P₁) =$20\; log$₁₀(V₂/V₁)=$20\; log$₁₀(I₂/I₁)

En el caso de resistencias distintas, se obtiene:

dB=$10\; log$₁₀(P₂/P₁) = $20\; log$₁₀(V₂/V₁)-1$0\; log$₁₀(R₁/R₂)= $20\; log$₁₀(I₂/I₁)-1$0\; log$₁₀(R₂/R₁)

Fig. 2 Tabla de conversión entre
factores numéricos y dB de potencia

Finalmente, cabe remarcar que es posible realizar mentalmente conversiones sencillas, sin la necesidad de utilizar la calculadora, utilizando la tabla de conversión que se muestra en la Figura 2 y recordado que una multiplicación equivale a sumar magnitudes expresadas en dB, mientras que una división equivale a restarlas.

Asimismo, observe que la conversión en dB de potencia de los factores evidenciados en la Figura 2 es una aproximación hecha simplemente para agilizar los cálculos mentales ya que $10\; log$₁₀(6)=7.78 dB y $10\; log$₁₀(1.5)=1.76 dB.

El uso de la tabla representada en la Figura 2 es muy sencillo y se puede demostrar con un par de ejemplos. Asuma, por ejemplo, que se quiera convertir en dB la relación de potencias (P₂/P₁)=(1/20).

El primer paso consiste en reducir 20 en un productos de factores que se encuentran en la tabla y luego encontrar sus respectivas conversiones en dB. Finalmente, recordando que se trata de divisiones, hay que considerar dB negativos:

 (P₂/P₁)=1/20=1/(10 × 2)=(1/10)×(1/2) ==> (P₂/P₁)_dB=-10 dB -3 dB = -13 dB

Análogamente, si se quisiera convertir en dB la relación de potencias (P₂/P₁)=64, se obtendría:

 (P₂/P₁)= 64= 8 × 4 × 2 ==> (P₂/P₁)_dB=9 dB +6 dB +3dB= 18 dB