Circuitos Resonantes RLC

Un circuito resonante RLC puede tener dos distintas configuraciones:

1. una configuración serie;
2. una configuración paralelo.

En una configuración serie las reactancias de inductor y condensador se suman generando una inductancia total $X$_tot=X_L-X_C. Los efectos de las reactancias de inductor y condensador son opuestos, por tanto la reactancia total $X$_tot será inferior a las reactancias individuales del inductor y del condensador que forman el circuito resonante. El signo de $X$_tot dependerá de los valores de las reactancias X_L y X_C. Por consiguiente:

1. $X$_tot > 0 si X_L>X_C, por lo que el circuito RLC serie tendrá un comportamiento inductivo;
2. $X$_tot < 0 si X_C>X_L, por lo que el circuito RLC serie tendrá un comportamiento capacitivo;
3. $X$_tot = 0 si X_L=X_C, por lo que el circuito RLC serie tendrá un comportamiento resonante.

Recuerde que la reactancia de un inductor es una función lineal de la frecuencia; es decir, $X$_L=ωL. Por otro lado, la reactancia de un condensador es una función no lineal de la frecuencia; es decir, $X$_L=1/ωC.

Fig. 1. Significado Geométrico de la Resonancia Serie

La Figura 1 ilustra analíticamente el fenómeno de la resonancia serie. Desde el punto de vista geométrico la frecuencia de resonancia es aquella a la que las curvas que representan X_L(ω) y X_C(ω) se intersecan.

Desde el punto de vista eléctrico, la tensión entre los bornes del inductor y del condensador están desfasadas entre ellas de 180º. Debido a este desfase V_C y V_L se sustraen, por tanto, la tensión total que cae sobre la conexión serie de inductor y condensador será siempre inferior a las caídas de tensiones individuales entre los bornes de inductor y los del condensador.

Para frecuencias inferiores a la frecuencia de resonancia, la impedancia es de tipo capacitivo, por tanto, la corriente en la carga estará en anticipo de  fase respecto a la tensión de entrada, tal y como muestra la Figura 2 en el caso de un resonador RLC serie con f_R=1GHz.

Fig. 2. Tensión y Corriente del Resonador Serie RLC a la Frecuencia de 800MHz

Para frecuencias superiores a la frecuencia de resonancia, la impedancia es de tipo inductivo. Esto significa que la corriente en la carga estará en retardo de fase respecto a la tensión de entrada, tal y como se muestra en la Figura 3.

Fig. 3. Tensión y Corriente del Resonador Serie RLC a la Frecuencia de 1.2GHZ

Finalmente, a la frecuencia de resonancia la corriente en la carga estará en fase con la tensión de entrada a que la impedancia del circuito es puramente resistiva. En estas condiciones, la corriente que circula por la resistencia de carga R_S es máxima y vale V_in/R_S. Esta situación se representa en la Figura 4.

Fig. 4. Tensión y Corriente del Resonador Serie RLC a la Frecuencia de Resonancia
(ω_R=1GHz)

A la pulsación de resonancia ω_R; es decir, aquella pulsación para la que es (ω_R)²=(2πf_R)²=1/LC, el resultado será una impedancia puramente resistiva.

Fig. 5. Resonador LRC Serie

La Figura 5 muestra un resonador RLC diseñado para tener una frecuencia de resonancia de f_R=1GHz. Observe que a la frecuencia de resonancia la impedancia de entrada es mínima, puramente resistiva e igual a 10Ω; por otro lado, a la misma frecuencia la tensión de salida es máxima e igual a V_in.

A las bajas frecuencias domina la impedancia del condensador que es muy elevada,  por tanto, la impedancia de entrada muy elevada también. A la frecuencia de resonancia las reactancias de inductor y condensador se cancelan por lo que la impedancia de entrada es puramente resistiva e igual a R_S. A las altas frecuencia domina la impedancia del inductor ya que la del condensador es aproximadamente nula, por tanto la impedancia de entrada vuelve a aumentar  tal y como muestra el resultado de la simulación de la Figura 6.

Fig. 6. Resistencia de Entrada del Resonador RLC Serie

La Figura 7 muestra el módulo de la tensión de salida del resonador; es decir, la tensión medida entre los barnes de la resistencia R_S. Observe el pico en correspondencia de la frecuencia de resonancia f_R. A dicha frecuencia la ganancia es unitaria ya que toda la tensión de entrada cae sobre la resistencia de carga.

Es posible definir un ancho de banda BW del resonador. BW=f₂-f₁ es el rango de frecuencias limitado inferiormente por una frecuencia f₁ y superiormente por una frecuencia f₂ a las que la ganancia de tensión se ha reducido de 3dB respecto al valor a la frecuencia de resonancia; es decir |V_out(f₁)|=|V_out(f₂)|=0.707|V_out(f_r)|. Las frecuencia  f₁ y f₂ se conocen también como frecuencias de -3dB o frecuencias de media potencia.

Fig. 7. Módulo de la Ganancia del Resonador RLC Serie

La definición de ancho de banda BW es válida también para resonadores RLC de tipo paralelo. Por consiguiente, un resonador tiene una respuesta en frecuencia de tipo paso-banda e, idealmente, la frecuencia central es la frecuencia de resonancia; es decir, f_r=(f₁+f₂)/2.
Para un resonador es posible definir una figura de mérito muy importante: la selectividad. La selectividad es un indicador de la medida con que el resonador responde a ciertas frecuencias y discrimina todas las otras. Más estrecho es el ancho de banda BW, mayor la selectividad. Más abrupta es la pendiente de la respuesta en frecuencia del resonador, mayor la selectividad.

Es posible también definir otra figura de mérito del resonador, su factor de calidad Q. El ancho de banda BW puede expresarse en función del factor de calidad Q; es decir BW= f_r/Q. Por consiguiente, más pequeño es el factor de calidad, más elevado será el ancho de banda del resonador y peor su selectividad. Por otro lado, un factor de calidad elevado se traduce en una banda estrecha y en una elevada selectividad.

Fig. 8. Modelo LT-Spice para el Análisis Paramétrico del
Resonador RLC Serie

La Figura 8 muestra el modelo LT-Spice utilizado para realizar un análisis paramétrico del resonador RLC serie para estudiar su comportamiento al variar de la resistencia R_S.

La simulación está configurada para realizar un análisis AC entre 100MHz y 5GHz y calcular los parámetros de red para distintos valores de R_S (de 10 hasta 50Ω).

La Figura 9 muestra el resultado de la simulación para la ganancia del circuito. Observe como al aumentar de la resistencia R_S el Q del resonador empeora. Esto se refleja en el ancho de banda BW del circuito, que va aumentando a medida de que el Q empeora (es decir, disminuye).

Fig. 9. Análisis Paramétrico de la Ganancia del Resonador RLC Serie

Un resonador paralelo tiene un comportamiento dual respecto a su homólogo serie, ya que en este caso domina la rama del circuito con la reactancia más pequeña, porque, a través de esta rama pasará la corriente más grande. Por tanto:

1. Cuando X_L<X_C, el circuito RLC paralelo tendrá un comportamiento inductivo;
2. Cuando X_C<X_L, el circuito RLC paralelo tendrá un comportamiento capacitivo;
3. Cuando X_L=X_C, el circuito RLC paralelo tendrá un comportamiento resonante.

Cabe remarcar que tanto la resistencia del resonador serie como la del resonador paralelo representan las resistencias parásitas de los elementos reactivos (es decir, inductor y condensador), siendo dominante la contribución de la resistencia parásita del inductor.

Fig. 10. Transformación LR Serie-Paralelo en un Resonador
RLC Paralelo

Para poder estudiar el comportamiento del resonador RLC paralelo de forma más sencilla es oportuno realizar la transformación que se muestra en la Figura 10, en la que el circuito RL serie se transforma en un circuito RL paralelo.

Las resistencias e inductancias paralelo; es decir R_P y L_P, son ligadas a sus homólogos serie (R_S y L_S) a través del factor de calidad Q_L=X_L/R_S del inductor. El inductor equivalente del circuito resonante paralelo se L_P=L_S((Q_L²+1)/Q_L²), mientras que la resistencia equivalente del circuito resonante paralelo resulta ser R_P=R_S(Q_L²+1).

A la frecuencia de resonancia resulta X_L=X_C, por tanto las corrientes en las dos ramas del resonador son idénticas en módulo pero con fases opuestas por tanto se cancelan. En estas condiciones la impedancia de entrada del circuito es puramente resistiva y muy elevada ya que resulta igual a la resistencia parásita del inductor multiplicada por el cuadrado del factor de calidad del inductor.

Un circuito resonante paralelo se conoce también como tanque LC. Este circuito transfiere energía desde el condensador al inductor durante el ciclo positivo de la tensión de entrada y la almacena en el campo magnético del inductor. Por otro lado, durante el ciclo negativo de la tensión de entrada la energía realiza el camino inverso y viene almacenada en el campo eléctrico del dieléctrico del condensador.

Fig. 11. Modelo LT-Spice del Resonador RLC Paralelo

La Figura 11 muestra el circuito equivalente de un resonador RLC paralelo con un inductor con factor de calidad Q_L=4, diseñado para tener una frecuencia de resonancia de 1GHz.

Se realiza un análisis AC del circuito en el rango de frecuencias entre 100MHz y 5 GHz. La impedancia de entrada del resonador en función de la frecuencia se muestra en la Figura 12. Observe que a medida de que la frecuencia aumenta, aumentará también la impedancia de entrada. La impedancia alcanza un máximo (puramente resistivo e igual a R_P) a la frecuencia de resonancia del circuito. En estas condiciones, por el circuito circula una corriente I_tot=V_in/R_P. A frecuencias superiores a la de resonancia la impedancia de entrada vuelve a bajar. Este comportamiento se debe al hecho que a las bajas frecuencias predomina un comportamiento inductivo (se decir, la mayor parte de la frecuencia fluye por el inductor), mientras que a las altas frecuencias predomina un comportamiento capacitivo (es decir, la mayor parte de la corriente fluye por el condensador).

Fig. 12. Impedancia de Entrada del Resonador RLC Paralelo

Muy a menudo suele haber una resistencia externa R_L en paralelo con el tanque resonante LC. Esta resistencia aparece en paralelo con la resistencia equivalente paralelo del inductor R_P reduciendo el Q del resonador que se vuelve Q₀=(R_L||R_P)/X_L.