Carta de Smith y Aplicaciones

Cuando se analiza un circuito eléctrico, uno de los parámetros que hay que evaluar es la impedancia Z (o la admitancia Y=1/Z) medida en uno de sus puertos o entre dos terminales. La impedancia y la admitancia son funciones complejas de la pulsación  ω; es decir, $Z(\omega )=R+jX(\omega )$ y $Y(\omega )=G+jB(\omega ).$

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La expresión de Z(ω) puede ser muy compleja y difícil de calcular, ya que depende también de las características del medio de transmisión a través de la constante de propagación γ=α+jβ(ω) (donde representa las pérdidas del medio y el factor de fase que modela la dispersión del mismo) y de la posición z en la que se realiza la medida a lo largo del eje de propagación de la señal.

En el diseño de circuitos RF es posible representar una impedancia Z(ω)=R+jX(ω) en términos de su coeficiente de reflexión  Γ=(Z-$Z$₀)/(Z+$Z$₀) respecto a una impedancia de referencia $Z$₀:

Z=$Z$₀(1+Γ)/(1-Γ)

P. H. Smith

La Carta de Smith es un nomograma (es decir, una diagrama para realizar de forma gráfica cálculos complejos) que permite representar gráficamente el coeficiente de reflexión. Este procedimiento, inventado por P. H. Smith en 1939 permite representar, en un único diagrama también impedancias y admitancias.

Asimismo, la Carta de Smith puede utilizarse para calcular la relación de onda estacionaria de tensión de un línea (Voltage Standing Wave Ratio -VSWR), los parámetros scattering y diseñar redes de adaptación de impedancia entre un generador y una impedancia compleja de carga.

Fig. 1. La Carta de Smith

La Figura 1 representa una Carta de Smith con sus puntos característicos; es decir, el punto con resistencia nula (cortocircuito), resistencia infinita (circuito abierto). El círculo externo representa el lugar geométrico de las impedancias cuyo módulo del coeficiente de reflexión es unitario. Observe que las impedancias de tipo capacitivo (es decir, las impedancias cuya reactancia es negativa) se hallan en la parte inferior del diagrama. Por otro lado, las impedancias de tipo inductivo (es decir, las impedancias cuya reactancia es positiva) se hallan en la parte superior del diagrama. Las dos mitades están separadas por una recta que representa las impedancias puramente resistivas.

En la Carta de Smith se pueden distinguir una serie de curvas que permiten identificar de forma unívoca una impedancia o una admitancia. La Figura 2 muestra las curvas de impedancia. Estas curvas son de dos tipos:

1. Círculos de resistencia constante.
2. Curvas de reactancia constante.

Los círculos de resistencia constante identifican aquellas impedancias (de tipo inductivo o capacitivo) que tienen todas la misma parte real. Por otro lado, las curvas de reactancia constante identifican aquellas impedancias (de tipo inductivo o capacitivo) que tienen todas la misma parte imaginaria.

Fig. 2. Curvas de Impedancia

Es posible moverse a lo largo de la circunferencia simplemente cambiando la parte reactiva de la impedancia Z. Conectar a Z un inductor serie provoca un desplazamiento en sentido horario; por otro, lado, conectar a Z un condensador en serie provoca un desplazamiento en sentido anti-horario tal y como muestra la Figura 2.

Para moverse a lo largo de una curva de reactancia constante hay que variar la resistencia. Si la resistencia aumenta la impedancia se desplaza hacia la derecha; si la resistencia disminuye, la impedancia se desplaza hacia la izquierda tal y como se muestra en la Figura 3.

Fig. 3. Efecto de las Variaciones de las Resistencia

La carta de Smith tiene también una parte especular, es decir las curvas de admitancias. El comportamiento de las admitancias es exactamente el dual de las impedancias, por tanto para desplazarse a lo largo de las curvas de admitancias hay que colocar admitancias en paralelo.

Las curvas de admitancia tienen círculos de conductancia constante y curvas de susceptancia constante. De forma análoga a las curvas de impedancia, la intersección entre una curva de conductancia y una de susceptancia identificarán de forma unívoca una admitancia Y en la Carta de Smith.

Tal como se muestra en la Figura 4, un inductor en paralelo hará que Y se desplace en sentido anti-horario a lo largo de la circunferencia de conductancia constante   mientras que un condensador en paralelo provocará el efecto contrario. Por otro lado, si la conductancia aumenta, Y se desplazará a la izquierda a lo largo de la curva de susceptancia constante, mientras que si la conductancia disminuye el desplazamiento será hacia la derecha.

Fig. 4. Curvas de Admitancia

La Carta de Smith puede utilizarse para sintetizar redes de adaptación de impedancia con el objetivo de maximizar la potencia entregada a la carga.

Los desajustes entre la impedancia interna de la fuente de señal (por ejemplo una antena) y la impedancia de carga (por ejemplo la impedancia de entrada de un amplificador) pueden hacer que gran parte de la potencia incidente en la carga sea reflejada hacia la fuente en detrimento de la calidad de la señal recibida.

Fig. 5. Ejemplos de Adaptación Conjugada

Para diseñar la red de adaptación de impedancia adecuada hay que seguir el Teorema de la Máxima transferencia de Potencia y realizar una adaptación conjugada tal y como se muestra en la Figura 5. Realizar una adaptación de impedancia, pues, consiste en insertar entre fuente de señal y carga una red pasiva de dos puertos que realiza una transformación de impedancia. Hay dos opciones de diseño:

1. diseñar la red de manera que la impedancia que se ve desde el puerto (1) del circuito sea igual al conjugado de la impedancia interna de la fuente de señal $Z$_S.
2. diseñar la red de manera que la impedancia que se ve desde el puerto (2) del circuito sea igual al conjugado de la impedancia de carga $Z$_L.

Estas operaciones se pueden realizar de forma sencilla e intuitiva utilizando la Carta de Smith tal y como se ilustrará con el siguiente ejemplo. El objetivo es realizar una red de adaptación de impedancia paso-alto de tipo LC entre una antena con impedancia $Z$_A=20-j12Ω y una carga puramente resistiva de 50Ω a una frecuencia de 2450MHz. 

El factor de calidad Q de un circuito resonante puede calcularse como $f$₀/Δf, siendo $f$₀ la frecuencia de resonancia y Δf el ancho de banda del circuito resonante; por tanto, el ancho de banda de la red LC de adaptación de impedancia puede relacionarse al Q y a la frecuencia de resonancia:

Δf=$f$₀/Q

Esto significa que el valor del Q determina el ancho de banda de la adaptación, siendo un Q pequeño necesario para realizar una adaptación de banda ancha.

Fig. 6. Diseño de la Red de Adaptación Utilizando
las Curvas de Q Constante

El Q puede calcularse también como Q=X/R; es decir, como la relación entre la reactancia y la resistencia de la impedancia de antena $Z$_A. En el caso del diseño que pretendemos realizar el Q resulta ser Q=12/20=0.6. Esto significa que si el objetivo es realizar una red de adaptación paso-alto de banda ancha hay que garantizar que los desplazamientos sobre los círculos de conductancia y resistencia constantes estén limitados superiormente por el eje real e inferiormente por la curva de Q constante igual a 0.6 como muestra la Figura 6.

El resultado de la síntesis es una red LC formada por tres inductores y dos condensadores. La Figura 7 muestra la implementación en LT-Spice de la red LC de adaptación de impedancia.

Hay que modelar la antena con una fuente de tensión con una impedancia $Z$_A=20-j12Ω; sin embargo, LT-Spice permite modelar los elementos parásitos de una fuente de tensión como como una red RC paralelo. Por ello hay que convertir la impedancia $Z$_A de serie a paralelo utilizando, por ejemplo, un programa de conversión.

Fig. 7. Implementación en LT-Spice de la Red de Adaptación de Impedancia

Realizando un análisis de parámetros scattering con LT-Spice se obtiene el coeficiente de reflexión en el puerto de entrada (es decir, $S$₁₁) que se muestra en la Figura 8. La gráfica muestra una excelente adaptación de impedancia ($S$₁₁<-15 dB) en el rango de frecuencias incluidas entre 1.5GHz y 3.4GHz.

Fig. 8. El Coeficiente de Reflexión del Puerto de Entrada ( $S$₁₁) Simulado con LT-Spice