Esta es la tercera
parte de mi artículo sobre diseño de filtros analógico. En esta parte analizaré
con detalle las características de los polinomios de Butterworth y Chebychev
que se utilizan para aproximar la respuesta de un filtro pasobajo. El motivo de
esta elección es que para el filtro pasobajo existen excelentes aproximaciones
de su respuesta que no requieren la utilización de programas de diseño
específicos o tablas de coeficientes.
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| Fig. 1 Magnitud de la respuesta de un filtro de Butterworth |
Es posible derivar de
forma muy sencilla las expresiones para los filtros pasoalto, pasobanda y de
grieta a partir de la respuesta del filtro pasobajo mediante sencillas fórmulas
de transformación.
La Fig. 1 muestra la magnitud de la respuesta de un filtro de Butterworth.
La respuesta decrece monotónicamente y todos sus ceros de transmisión se hallan
en w=¥,
por tanto la respuesta es de tipo “all-pole”.
La magnitud de un
filtro de Butterworth de orden n con
un ancho de banda wc
es:
En la frecuencia w=wc
la magnitud de la función de transferencia se vuelve:
Por consiguiente, el
parámetro e determina la máxima variación de la ganancia en la banda de paso del filtro Amax de acuerdo con la
siguiente relación:
De forma, análoga, dado
Amax, e puede
calcularse como:
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| Fig. 2 Magnitud de la respuesta de Butterworth por ε=1 y distintos valores del orden n |
Cuanto más elevado es
el orden del filtro, más llana es la respuesta en la banda de paso ya que va
aproximado la respuesta de un filtro pasobajo ideal tal y como se muestra en la
Fig. 2. El comportamiento del
filtro al límite ws
de la banda de corte puede deducirse sustituyendo w=ws
en
la respuesta:
Expresando la magnitud en dB se obtiene:
Esta ecuación puede
utilizarse para determinar el orden del filtro; es decir, el valor más pequeño
de n que lleva a A(ws)³Amin.
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| Fig. 3 Construcción gráfica para determinar los polos de un filtro de Butterworth de orden n: (a) caso general, (b) caso de 2 polos, (c) caso de 3 polos y (d) caso de 4 polos |
Los modos naturales de
un filtro de Butterworth de orden n
puede determinarse gráficamente tal y como se muestra en la Fig. 3(a). Observe
que los modos naturales se hallan sobre una circunferencia de radio wc(1/e)(1/n) y están separados
por ángulos idénticos de π/n
radianes, con el primer modo que está separado del eje jw
por un ángulo de π/2n radianes. Todos
los modos naturales tienen la misma distancia radial desde el origen de los
ejes del plano complejo, esto significa que los polos tienen todos la misma
frecuencia. Las figuras de 3(b) a 3(d) muestran los modos naturales para
filtros con respuesta de Butterworth de orden n=2, 3, 4, respectivamente. Una vez hallado los modos naturales del
circuitos p1, p2, . . . , pn,
la función de transferencia resulta ser:
donde K es una constante igual a la ganancia
DC del filtro.
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| Fig. 4 Respuestas de Chebychev para (a) un filtro de orden n=4 y (b) un filtro de orden n=5. |
La Fig. 4 muestra
las respuestas de Chebychev para un filtro de orden par y uno de orden impar,
respectivamente. Un filtro de Chebychev muestra una respuesta con un rizado
uniforme (equiripple) en la banda de
paso y una transmisión que decrece de forma monotona en la banda de corte.
Observe que
la ganancia es máxima en w=0 para un
filtro de orden impar y tiene la máxima desviación en w=0
para un filtro de orden par. En ambos casos, el número total de
máximos y mínimos en la banda de paso representa el orden n del filtro. Todos los ceros de transmisión de la respuesta de
Chebychev se hallan en w=¥, por tanto la
respuesta es de tipo “all-pole”.
La magnitud de una
respuesta de Chebychev con una anchura wc
de la banda de paso (o banda de rizado) es:
en w=wc
la magnitud de la respuesta es:
Por consiguiente, el parámetro e determina la máxima variación de la ganancia en la banda de paso del filtro Amax de acuerdo con la siguiente relación:
De forma, análoga, dado
Amax, e puede
calcularse como:
La atenuación alcanzada por un filtro de
Chebychev al límite ws de la
banda de corte puede deducirse sustituyendo w=ws en la
respuesta:
Esta ecuación puede
utilizarse, con la ayuda de una calculadora, para determinar el orden del
filtro; es decir, el valor más pequeño de n
que lleva a A(ws)³Amin.
Tal y como para el
filtro de Butterworth, también en el caso del filtro de Chebychev la magnitud
de la respuesta aproxima la respuesta de un filtro ideal a medida de que
aumenta el orden n.
Los
polos de un filtro de Chebychev se hallan sobre una elipse y se pueden calcular
como:
con k=1,2,…,n.
Finalmente,
la función de transferencia del filtro de Chebychev resulta ser:
El filtro
de Chebychev proporciona una mejor aproximación de la respuesta ideal respecto
al filtro de Butterworth. Esto significa que para el mismo valor de Amax y el mismo orden n, el
filtro de Chebychev tiene una mejor atenuación en la banda de corte.
Los filtros
pasobajo prototipo que se han desarrollado anteriormente pueden utilizarse para
realizar una respuesta cualquiera utilizando una serie de transformaciones
específicas.
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| Fig 4. Dos posibles configuraciones de filtros pasobajo prototipo: (a) serie-shunt y (b) shunt-serie |
Un filtro
pasobajo prototipo como los que se muestran en la Figura 4, tiene los valores
de sus componentes normalizados respecto a la frecuencia angular de 1 rad/s y a
una impedancia de 1 W.
En el
filtro prototipo, los elementos series representan inductores y los elementos
en shunt representan condensadores. Los valores de los elementos normalizados
se hallan en tablas específicas para los distintos tipos de filtro. La tabla a
continuación muestra los coeficientes normalizados para filtros de Butterworth
de vario orden.
Orden
|
Elemento
|
|||||
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
2
|
1.414
|
1.414
|
||||
3
|
1.000
|
2.000
|
1.000
|
|||
4
|
0.7654
|
1.848
|
1.848
|
0.7654
|
||
5
|
0.6180
|
1.618
|
2.000
|
1.618
|
0.6180
|
|
6
|
0.5176
|
1.414
|
1.932
|
1.932
|
1.414
|
0.5176
|
Transformación pasoalto
Para
transformar el filtro pasobajo prototipo en uno de tipo pasoalto hay que
realizar la transformación siguiente:
Esto
significa que los inductores normalizados de valor gk deben ser sustituidos con condensadores normalizados
con valor 1/gk y que los
condensadores en shunt con valores normalizados gk deben ser sustituidos con inductores normalizados con
valor 1/gk.
Una vez
realizada la transformación hay que denormalizar los valores de los componentes
teniendo en cuenta los valores de la frecuencia de corte y de las resistencias
del generador y de la carga.
Recordando
que la impedancia de un condensador es ZC=1/jwC y que la de un inductor es ZL=jwL, los valores denormalizados
pueden calcularse tal y como se muestra a continuación:
Siendo R la resistencia del generador y de la
carga.
Transformación pasobanda
Para
transformar el filtro pasobajo prototipo en uno de tipo pasobanda con
frecuencias de corte inferior y superior wL y wH respectivamente, hay que realizar la transformación siguiente:
donde:
Observe que
la frecuencia w0 es definida como la media geométrica de las frecuencias de corte
superior e inferior del filtro, mientras que Δ es la banda fraccionaria.
Esta
transformación equivale a sustituir un inductor serie con un resonador serie
cuyos valores denormalizados son:
Por otro
lado un condensador en shunt se sustituye con un resonador paralelo cuyos
valores denormalizados son:
Transformación grieta (rechazo de banda)
Para
transformar el filtro pasobajo prototipo en uno de grieta con frecuencias que delimitan la grieta inferior y
superiormente wL y wH respectivamente, hay que realizar la transformación siguiente:
Esta
transformación equivale a sustituir un inductor serie con un resonador paralelo
cuyos valores denormalizados son:
Por otro
lado un condensador en shunt se sustituye con un resonador serie cuyos valores
denormalizados son:
La Fig. 5 resume todas las transformaciones.
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| Fig. 5 Resumen de las transformaciones aplicables al filtro pasobajo prototipo |
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