Filtros Analógicos. Parte II: Bloques Básicos del Primer y Segundo Orden

En este artículo se desarrollará una técnica sencilla para realizar filtros de cualquier orden conectando en cascada celdas muy sencillas del primer y del segundo orden.

La función de transferencia del primer orden se conoce también como función de transferencia bilinear y tiene un polo (modo natural) en s=w₀, un cero de transmisión en s=a₁/a₀ y una ganancia asintótica (es decir, por s®¥). Los coeficientes del denominador determinan el tipo de filtro (pasoalto, pasobajo o pasotodo).

La Fig. 1 muestra los distintos tipos de filtros de primer orden RC pasivos o activos (Op amp-RC) utilizando amplificadores de tensión diferenciales sencillos como los que se han estudiado en teoría.

Fig. 1 Filtros RC activos y pasivos del primer orden

Una implementación activa tiene una serie de ventajas respecto a una implementación pasiva:

1. Permite realizar circuitos con ganancias superiores a la ganancia unitaria;
2. Tiene una impedancia de salida muy pequeña y una impedancia de entrada muy grande lo que facilita la conexión en cascada de distintos bloques.

Sin embargo, una implementación activa tiene un comportamiento en frecuencia limitado por el amplificador operacional; por tanto, sus prestaciones son inferiores a las de una implementación pasiva a las altas frecuencias.

Un caso especial de función del primer orden es el filtro pasotodo. Su función de transferencia se caracteriza por un polo y un cero colocados simétricamente respecto al eje jw. La ganancia de estos filtros es idealmente constante para todas las frecuencias; sin embargo, exhibe un comportamiento selectivo para la fase, por tanto se utilizan para implementar circuitos ecualizadores de retardo. 

La distribución de las raíces de H(s) en el plano complejo puede proporcionar información muy útil sobre el circuito. Por ejemplo, para que el circuito sea estable, todos los polos deben estar localizado en el semiplano izquierdo (es decir, con s < 0). Si existe un cero en el origen, el filtro no tiene respuesta DC, se trata pues de un filtro pasoalto o pasobanda.

Fig. 2 Filtro RLC pasivo

Considere el circuito RLC de la Fig. 2, la función de transferencia H(s) resulta:

Sustituyendo los valores de los componentes se obtiene:

Las raíces del denominador son:

por lo que H(s) tiene dos polos complejos y conjugados y se vuelve:

Además H(s) tiene también un cero en el  origen. La Fig. 3 muestra la representación gráfica de las raíces de H(s) en el plano complejo. 

Fig. 3 Distribuciones de las raíces del filtro de la Fig. 2

En general, una función del segundo orden (bicuadrática) es de la forma:

Existe una forma alternativa más cómoda e intuitiva de representar la función de transferencia H(s) que permite expresar la respuesta en función de la frecuencia del polo w₀ y de su factor de calidad Q:

Desde el punto de vista geométrico la frecuencia del polo es la distancia radial desde el origen del plano complejo de los modos naturales de H(s). El factor de calidad Q, fija la distancia del eje jw de los modos naturales de H(s). El factor de calidad debe ser escogido de manera que los polos (es decir, los modos naturales) de H(s) sean complejos y conjugados.  Más adelante se demostrará que esto ocurre cuando Q > 0.5.

Observe que cuanto más grande es Q, más los polos se aproximarán al eje jw y más selectiva resultará la respuesta del filtro. Un valor infinito de Q hará que los polos yazcan en el eje imaginario determinando un comportamiento oscilatorio. Un valor negativo de Q hará que  los polos se coloquen en el semiplano s derecho llevando también a un comportamiento oscilatorio.

Los ceros de transmisión del filtro del segundo orden son determinados por los valores de los coeficientes a₀, a₁ y a₂ del numerador de H(s). Esto coeficientes, por tanto, determinarán el tipo de filtro (pasoalto, pasobajo, etc.). Los casos de interés se muestran en la Fig. 4, en la que, por cada tipo de filtro, se muestran la función de transferencia, las singularidades y la magnitud de la respuesta en frecuencia.

Fig. 4 Clasificación de las respuestas del segundo orden

La frecuencia de corte del filtro f_o, en general, es definida como aquella frecuencia a la que la magnitud de la respuesta del filtro ha decrecido de 3 dB respecto a su valor en la banda de paso. En algunos casos, como por ejemplo en el caso de una respuesta de tipo Chebychev, la frecuencia de corte puede definirse como aquella frecuencia que separa la banda de paso de la banda de transición. Por ejemplo, en el caso de un filtro de Chebychev con un rizado A_max= 0.5 dB, la frecuencia de corte podría definirse como aquella frecuencia para la A_max>0.5 dB. 

Para poder comparar fácilmente el comportamiento de un filtro al variar de sus parámetros de diseño, conviene expresar la respuesta en forma normalizada respecto a su frecuencia de corte (es decir dividiendo la respuesta por f_o). La operación de normalización no cambia la forma de la respuesta en frecuencia y de las curvas de fase y de retardo que definen el comportamiento del filtro en el dominio del tiempo. La operación de denormalización es la inversa de la de normalización y consiste en multiplicar los parámetros del filtro por f_o para obtener los valores reales. La respuesta en frecuencia de un filtro pasobajo con ganancia K puede expresarse en función de los parámetros de diseño Q y  w₀=2πf_o de la siguiente manera:

H(s) tendrá dos polos complejos y conjugados a±j b, por tanto es posible escribir la siguiente identidad:

Que lleva a unos polos con:

Los polos de la función del segundo orden son de tipo complejo y conjugado cuando la parte imaginaria b es distinta de cero. Esto ocurre cuando el factor de calidad Q del polo es mayor de 0.5. 

El ángulo y del polo es definido como:

La Fig. 5 muestra la representación gráfica de los polos en el plano complejo:

Fig. 5 Representación geométrica de un polo

Es posible definir también un factor de amortiguación z (damping ratio):

Si  z < 0.707, la respuesta del filtro exhibirá un ligero pico a la frecuencia de corte. Si  z > 0.707 la pendiente (roll-off) será más pronunciada y la respuesta será de tipo amortiguado; es decir, no habrá un pico a la frecuencia de resonancia y la respuesta empecerá a decrecer antes con una pendiente suave. 

La operación de normalización de la respuesta H(s)  equivale a imponer w₀=1; por tanto, si se asume una ganancia unitaria (es decir K=1), la expresión normalizada de H(s) resulta ser:

La Fig. 6 muestra la respuesta normalizada de un filtro pasobajo por distintos valores de Q.

Fig. 6 Respuesta en frecuencia de tipo pasobajo por distintos valores de Q

Tal y como se mencionó de antemano, las respuestas de tipo pasoalto y pasobanda se caracterizan por una función de transferencia que presenta unos ceros en el origen. Queda evidente que, para que el comportamiento asintótico por s®¥ converja a una ganancia finita, una respuesta de tipo pasoalto numerador y denominador deben tener el mismo orden (es decir, H(s)  debe tener un cero doble en el origen). Por consiguiente, un filtro pasoalto del segundo orden con ganancia K, tiene la siguiente expresión normalizada de H(s):

El comportamiento asintótico de un filtro pasobanda con ganancia K es tal que por s®0 y s®¥ la respuesta converge a cero. Esto significa que el orden del numerador de H(s)  debe ser inferior al del denominador, lo que implica que H(s) tiene un cero sencillo en el origen y su respuesta resulta ser:

Por lo que la expresión normalizada resulta ser:

Para un filtro pasobanda Q tiene un significado particular ya que representa la selectividad del filtro y es definido como:

Donde f_H y f_L son, respectivamente las frecuencias superiores e inferiores del filtro; es decir aquellas frecuencias donde la respuesta ha decrecido de -3 dB respecto a su valor en la banda de paso; por tanto f_H - f_L representa el ancho de banda del filtro. En este caso f₀ no es la frecuencia de corte sino la frecuencia de centro banda. 

Un filtro de rechazo de banda estándar (o de grieta) es un filtro cuya respuesta es nula a la frecuencia de corte. Este comportamiento se obtiene introduciendo dos ceros complejos a la misma frecuencia de los polos complejos y conjugados. Esto significa que la respuesta del circuito resulta ser:

De lo que sigue que la respuesta normalizada resulta ser:

Cambiando la frecuencia del cero se pueden obtener respuestas de grieta pasobajo (si la frecuencia del cero es superior a la del polo) o pasoalto (si la frecuencia del cero es inferior a la del polo). 

Existe otro tipo de filtro que se conoce como filtro pasotodo. Se trata de un dispositivo que deja pasar íntegramente la señal introduciendo simplemente una rotación de fase. El propósito de este filtro es, por tanto, el de introducir un retardo en la respuesta del circuito. El filtro pasotodo se utiliza como ecualizador para equilibrar las fases de las distintas componentes de una señal especialmente en generadores de  pulsos. Este tipo de filtro se utiliza también en moduladores de banda lateral sencilla con supresión de portadora (SSB-SC). La respuesta en frecuencia de un filtro pasotodo es:

por tanto el filtro tiene también un par de ceros complejos y conjugados en el semiplano derecho a la misma frecuencia de los polos. 

Fig. 7 Resumen de las características principales de filtros del segundo orden

La Fig. 7 resume las características de los distintos tipos de filtros del segundo orden analizados.

Una función de transferencia del segundo orden puede implementarse fácilmente utilizando circuitos RLC resonantes. La respuesta de un filtro RLC paralelo es del tipo:

Imponiendo que el denominador debe ser expresado en forma estándar:

de lo que sigue que:

y

Fig. 8 Implementación de los distintos filtros del segundo orden: (a) estructura general, (b) pasobajo, (c) pasoalto,(d) pasobanda, (e) grieta, (f) grieta general, (g) grieta pasobajo, (h) grieta pasobajo por s®¥ , (i) grieta pasoalto 

Un resonador RLC puede reorganizarse en una rama serie (la impedancia Z₁) y una paralelo (la impedancia Z₂) que forma un divisor de tensión, tal y como muestra la Fig. 8(a).

Este circuito puede utilizarse para estudiar las condiciones en la que la función de transferencia genera ceros de transmisión. La función de transferencia es:

Las condiciones para las que se generan ceros de transmisión son las siguientes:

1. Z₂(s)=0, Z₁(s) finita y Z₁(s)≠0;  
2. Z₁(s)=¥, Z₂(s) finita y Z₂(s)≠0.

Es decir, un cero de transmisión ocurre a la frecuencia a la que Z₂ es un cortocircuito y Z₁ tiene un valor finito distinto de cero, y a la frecuencia en que Z₁ es un circuito abierto y Z₂ tiene un valor finito distinto de cero. 

Las figuras de 8(b) a 8(i) muestra cómo deben ser Z₁ y Z₂ para poder implementar los distintos tipos de filtro del segundo orden. Por ejemplo, en el caso del filtro pasobajo de Fig. 8(b), Z₁=sL mientras que Z₂=R||C. Los ceros de transmisión en el eje jw típicos de flos filtros de grieta se obtienen colocando un resonador LC paralelo en la rama serie de resonador RLC de la Fig. 8(a), obteniendo las estructuras de las figuras de 8(e)  a 8(i).

Un discurso a parte merece la realización de un filtro pasotodo. La función de transferecnia típica de un filtro pasotodo del segundo orden puede rescribirse de la siguiente forma:

La respuesta se obtiene pues sustraendo a una costante unitaria la respuesta de un filtro pasobanda con ganancia en la banda de paso igual a 2.

EL circuito de la Fig. 8(d) representa un filtro pasobanda de frecuencia unitaria, por tanto, conviene transformar la ecuación anterior para poder utilizar este tipo de filtro, obteniendo:

que corresponde a la función de transferencia de un filtro pasotodo con ganancia de 0.5. Esta función puede realizarse conectando un divisor de tensión que realiza una atenuación de 0.5 con el filtro pasobanda de la Fig. 8(d), tal como se muestra en la Fig. 9.

Fig. 9 Filtro pasotodo RLC

Desafortunadamente esta implementación tiene la desventaja de que entrada y salida no tienen una tierra común.