Sobre Valor Medio y Valor Eficaz de una Señal Sinusoidal

Los dos tipos de medida más comunes que se utilizan para cuantificar la intensidad de una señal eléctrica en régimen sinusoidal son el valor medio (o componente DC) y el valor eficaz (o valor rms, del inglés root mean square).

Calcular el valor medio de una señal x(t) de corriente o tensión equivale a realizar su promedio <x(t)> en un intervalo de tiempo T, es decir: 

Qué pasa si la señal x(t) tiene valor medio nulo; es decir, si su componente DC es nula. ¿Será nula también la potencia media disipada? Obviamente no. Por ello hay que definir otro tipo de medida más conveniente, que tenga en cuenta de las fluctuaciones de x(t) alrededor de su valor medio. 

La medida más adecuada en AC es el valor eficaz de la señal x(t), calculado como la raíz cuadrada de su valor cuadrático medio. 

Observe que, desde el punto de vista dimensional, x(t) y x_rms tienen las mismas dimensiones; es decir, si x(t) es una señal de tensión, también x_rms será dimensionalmente una tensión.

La potencia media en AC P_avg puede calcularse a partir de los valores eficaces v_rms y i_rms de tensión y corriente; es decir:

Los valores eficaces de tensión y corriente están ligados a los respectivos valores de pico por las relaciones siguientes:

Por tanto, es posible expresar la potencia media P_avg también en función de los valores de pico de las señales de tensión y corriente:

Los dBs son Sencillos

El decibelio (dB) es una fracción de una unidad mayor llamada Bel (belio). Un Bel (llamado así en honor de Alexander Graham Bell), por definición, representa una relación de 10 a 1 entre las potencias de dos señales. Por consiguiente una relación 10:1 es igual a 1 Bel, una relación de 100:1 es igual a 2 Bel y una relación de 1000:1 es igual a 3 Bel. 

De acuerdo con su definición, es evidente que el Bel representa una relación logarítmica entre dos potencias ya que $log$₁₀10=1 (es decir, 1 Bel), $log$₁₀100=2 (es decir, 2 Bel), $log$₁₀1000=3 (es decir, 3 Bel). Por consiguiente una relación de potencias expresada en belios puede calcularse a partir de la fórmula siguiente:

$Bel=log$₁₀(P₂/P₁)

donde P₂/P₁ representa la relación entre dos potencias.

Utilizar el Bel para expresar una relación de potencias tiene el inconveniente de que se trata de una unidad muy grande. A fines práctico, es mucho más sencillo utilizar el decibelio o dB. Por definición 10 dB son equivalentes a 1 Bel, consecuentemente, una relación de potencias de 10:1 es igual a 10 dB, una relación de 100:1 es igual a 20 dB y una relación de 1000:1 es igual a 30 dB, etc. Por consiguiente una relación de potencias expresada en belios puede calcularse a partir de la fórmula siguiente:

$dB=10\; log$₁₀(P₂/P₁)

Cabe remarcar que la relación de potencias P₂/P₁ no debe necesariamente ser mayor que la unidad. P₁ suele ser la potencia de referencia; por consiguiente, la relación expresa cuanto una potencia P₂ es mayor (en el caso en que (P₂/P₁)>1) o menor (en el caso en que (P₂/P₁)<1) de una potencia de referencia. Obviamente, cuando la relación de potencias P₂/P₁ es inferior a la unidad, el proceso de conversión a belios o decibelios da un resultado negativo. Por ejemplo, si P₂=0.1P₁, la conversión en dB es:

(P₂/P₁)$$_dB =10 log₁₀(0.1/1) =-10 dB

Quede claro que el decibelio no es una unidad de medida, ni mide una potencia; se trata, en vez, de una relación o comparación entre dos valores de potencia. En electrónica y telecomunicaciones se suelen expresar los niveles de potencias en dB respecto a una potencia de referencia fija, siendo  1 mW y 1 W los niveles de referencia más utilizados.

Cuando se expresa un nivel de potencia referido a 1 mW se suele hablar de dBm (dB-milivatio); por definición un dBm es:

$dBm=10\; log$₁₀(P₂/1 mW)

Análogamente, cuando se expresa un nivel de potencia referido a 1 W se suele hablar de dBW (dB-vatio); por definición un dBW es:

$dBm=10\; log$₁₀(P₂/1 W)

Por ejemplo, una potencia de 1 mW equivale a 0 dBm, una potencia de 10 mW equivale a 10 dBm y una potencia de 1 W equivale a 0 dBW o 30 dBm.

En las telecomunicaciones, además de 1 mW y 1 W, existen también otras otros niveles de referencia respecto a los que es posible expresar una potencia o una intensidad. Los más utilizados son:

• dBc (dB-carrier): indica el nivel de potencia relativo de ruido o de una banda lateral referidos a la potencia de portadora.
• dBμV/m: indica la intensidad del campo eléctrico referida a un campo eléctrico de 1 μV/m.
• dBi (dB-isotropic): la ganancia de antena referida a la de un radiador isótropo; es decir, un radiador que distribuye uniformemente su energía en todas las direcciones.

Asimismo, es posible expresar el ancho de banda de una señal respecto a un ancho de banda de referencia utilizando el dB-Hz (dB-hercio). el dB-Hz representa la banda de una señal relativa a 1 Hz. Por ejemplo, 30 dB-Hz equivalen a un ancho de banda de 1 KHz. Los anchos de bandas expresados en dB-Hz se utilizan normalmente en los balances de enlace (link budget) y en las comunicaciones satelitales para expresar la relación C/kT entre la potencia de portadora C y la densidad de potencia de ruido del receptor kT (carrier-to-receiver noise density), donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura de ruido de sistema.

La utilidad de expresar las relaciones de potencias en dB es evidente, ya que utilizar decibelios permite aprovechar las propiedades de los logaritmos y sumas y restas en vez de estar dividiendo y multiplicando por los factores de pérdidas o de ganancia de un sistema. Considere, por ejemplo, el sistema de telecomunicación sencillo representado en la Figura 1.

Fig. 1. Sistema de Telecomunicación Sencillo

El subsistema de transmisión se compone de un amplificador con una ganancia de potencia  $G$_amp=100 W que equivale a 50 dBm, una línea de transmisión con pérdidas que conecta la salida del amplificador con una antena transmisora con ganancia de 15 dBi. El subsistema de recepción es análogo. La antena receptora tiene la misma ganancia de la transmisora, mientras que la línea de transmisión que conecta la antena al amplificador introduce unas pérdidas de inserción (insertion loss) de 2 dB.

El objetivo es calcular la potencia recibida $P$_r sabiendo que el medio de transmisión introduce unas pérdidas de 137 dBm. Expresando pérdidas y ganancias en decibelios es inmediato y sencillo obtener el resultado:

$P$_r =50 dBm -1 dB + 15 dBi - 137 dBm + 15 dBi - 2 dB = -60 dBm

que equivale a una potencia recibida de 1 nW. 

Es posible expresar en decibelios también relaciones de corrientes y de tensiones recordando que P=I²R=V²/R. Sustituyendo estas expresiones en la definición de decibelio, por los dB de tensión se obtiene:

$dB=10\; log$₁₀(V₂/V₁)²=$20\; log$₁₀(V₂/V₁)

Análogamente, para las corrientes se obtiene:

$dB=10\; log$₁₀(I₂/I₁)²=$20\; log$₁₀(I₂/I₁)

Las expresiones anteriores se han calculado asumiendo implícitamente que las resistencias R₁ y R₂, en las que se calculan las potencia P₁ y  P₂, son iguales. En estas condiciones resulta:

dB=$10\; log$₁₀(P₂/P₁) =$20\; log$₁₀(V₂/V₁)=$20\; log$₁₀(I₂/I₁)

En el caso de resistencias distintas, se obtiene:

dB=$10\; log$₁₀(P₂/P₁) = $20\; log$₁₀(V₂/V₁)-1$0\; log$₁₀(R₁/R₂)= $20\; log$₁₀(I₂/I₁)-1$0\; log$₁₀(R₂/R₁)

Fig. 2 Tabla de conversión entre
factores numéricos y dB de potencia

Finalmente, cabe remarcar que es posible realizar mentalmente conversiones sencillas, sin la necesidad de utilizar la calculadora, utilizando la tabla de conversión que se muestra en la Figura 2 y recordado que una multiplicación equivale a sumar magnitudes expresadas en dB, mientras que una división equivale a restarlas.

Asimismo, observe que la conversión en dB de potencia de los factores evidenciados en la Figura 2 es una aproximación hecha simplemente para agilizar los cálculos mentales ya que $10\; log$₁₀(6)=7.78 dB y $10\; log$₁₀(1.5)=1.76 dB.

El uso de la tabla representada en la Figura 2 es muy sencillo y se puede demostrar con un par de ejemplos. Asuma, por ejemplo, que se quiera convertir en dB la relación de potencias (P₂/P₁)=(1/20).

El primer paso consiste en reducir 20 en un productos de factores que se encuentran en la tabla y luego encontrar sus respectivas conversiones en dB. Finalmente, recordando que se trata de divisiones, hay que considerar dB negativos:

 (P₂/P₁)=1/20=1/(10 × 2)=(1/10)×(1/2) ==> (P₂/P₁)_dB=-10 dB -3 dB = -13 dB

Análogamente, si se quisiera convertir en dB la relación de potencias (P₂/P₁)=64, se obtendría:

 (P₂/P₁)= 64= 8 × 4 × 2 ==> (P₂/P₁)_dB=9 dB +6 dB +3dB= 18 dB

Circuitos Resonantes RLC

Un circuito resonante RLC puede tener dos distintas configuraciones:

1. una configuración serie;
2. una configuración paralelo.

En una configuración serie las reactancias de inductor y condensador se suman generando una inductancia total $X$_tot=X_L-X_C. Los efectos de las reactancias de inductor y condensador son opuestos, por tanto la reactancia total $X$_tot será inferior a las reactancias individuales del inductor y del condensador que forman el circuito resonante. El signo de $X$_tot dependerá de los valores de las reactancias X_L y X_C. Por consiguiente:

1. $X$_tot > 0 si X_L>X_C, por lo que el circuito RLC serie tendrá un comportamiento inductivo;
2. $X$_tot < 0 si X_C>X_L, por lo que el circuito RLC serie tendrá un comportamiento capacitivo;
3. $X$_tot = 0 si X_L=X_C, por lo que el circuito RLC serie tendrá un comportamiento resonante.

Recuerde que la reactancia de un inductor es una función lineal de la frecuencia; es decir, $X$_L=ωL. Por otro lado, la reactancia de un condensador es una función no lineal de la frecuencia; es decir, $X$_L=1/ωC.

Fig. 1. Significado Geométrico de la Resonancia Serie

La Figura 1 ilustra analíticamente el fenómeno de la resonancia serie. Desde el punto de vista geométrico la frecuencia de resonancia es aquella a la que las curvas que representan X_L(ω) y X_C(ω) se intersecan.

Desde el punto de vista eléctrico, la tensión entre los bornes del inductor y del condensador están desfasadas entre ellas de 180º. Debido a este desfase V_C y V_L se sustraen, por tanto, la tensión total que cae sobre la conexión serie de inductor y condensador será siempre inferior a las caídas de tensiones individuales entre los bornes de inductor y los del condensador.

Para frecuencias inferiores a la frecuencia de resonancia, la impedancia es de tipo capacitivo, por tanto, la corriente en la carga estará en anticipo de  fase respecto a la tensión de entrada, tal y como muestra la Figura 2 en el caso de un resonador RLC serie con f_R=1GHz.

Fig. 2. Tensión y Corriente del Resonador Serie RLC a la Frecuencia de 800MHz

Para frecuencias superiores a la frecuencia de resonancia, la impedancia es de tipo inductivo. Esto significa que la corriente en la carga estará en retardo de fase respecto a la tensión de entrada, tal y como se muestra en la Figura 3.

Fig. 3. Tensión y Corriente del Resonador Serie RLC a la Frecuencia de 1.2GHZ

Finalmente, a la frecuencia de resonancia la corriente en la carga estará en fase con la tensión de entrada a que la impedancia del circuito es puramente resistiva. En estas condiciones, la corriente que circula por la resistencia de carga R_S es máxima y vale V_in/R_S. Esta situación se representa en la Figura 4.

Fig. 4. Tensión y Corriente del Resonador Serie RLC a la Frecuencia de Resonancia
(ω_R=1GHz)

A la pulsación de resonancia ω_R; es decir, aquella pulsación para la que es (ω_R)²=(2πf_R)²=1/LC, el resultado será una impedancia puramente resistiva.

Fig. 5. Resonador LRC Serie

La Figura 5 muestra un resonador RLC diseñado para tener una frecuencia de resonancia de f_R=1GHz. Observe que a la frecuencia de resonancia la impedancia de entrada es mínima, puramente resistiva e igual a 10Ω; por otro lado, a la misma frecuencia la tensión de salida es máxima e igual a V_in.

A las bajas frecuencias domina la impedancia del condensador que es muy elevada,  por tanto, la impedancia de entrada muy elevada también. A la frecuencia de resonancia las reactancias de inductor y condensador se cancelan por lo que la impedancia de entrada es puramente resistiva e igual a R_S. A las altas frecuencia domina la impedancia del inductor ya que la del condensador es aproximadamente nula, por tanto la impedancia de entrada vuelve a aumentar  tal y como muestra el resultado de la simulación de la Figura 6.

Fig. 6. Resistencia de Entrada del Resonador RLC Serie

La Figura 7 muestra el módulo de la tensión de salida del resonador; es decir, la tensión medida entre los barnes de la resistencia R_S. Observe el pico en correspondencia de la frecuencia de resonancia f_R. A dicha frecuencia la ganancia es unitaria ya que toda la tensión de entrada cae sobre la resistencia de carga.

Es posible definir un ancho de banda BW del resonador. BW=f₂-f₁ es el rango de frecuencias limitado inferiormente por una frecuencia f₁ y superiormente por una frecuencia f₂ a las que la ganancia de tensión se ha reducido de 3dB respecto al valor a la frecuencia de resonancia; es decir |V_out(f₁)|=|V_out(f₂)|=0.707|V_out(f_r)|. Las frecuencia  f₁ y f₂ se conocen también como frecuencias de -3dB o frecuencias de media potencia.

Fig. 7. Módulo de la Ganancia del Resonador RLC Serie

La definición de ancho de banda BW es válida también para resonadores RLC de tipo paralelo. Por consiguiente, un resonador tiene una respuesta en frecuencia de tipo paso-banda e, idealmente, la frecuencia central es la frecuencia de resonancia; es decir, f_r=(f₁+f₂)/2.
Para un resonador es posible definir una figura de mérito muy importante: la selectividad. La selectividad es un indicador de la medida con que el resonador responde a ciertas frecuencias y discrimina todas las otras. Más estrecho es el ancho de banda BW, mayor la selectividad. Más abrupta es la pendiente de la respuesta en frecuencia del resonador, mayor la selectividad.

Es posible también definir otra figura de mérito del resonador, su factor de calidad Q. El ancho de banda BW puede expresarse en función del factor de calidad Q; es decir BW= f_r/Q. Por consiguiente, más pequeño es el factor de calidad, más elevado será el ancho de banda del resonador y peor su selectividad. Por otro lado, un factor de calidad elevado se traduce en una banda estrecha y en una elevada selectividad.

Fig. 8. Modelo LT-Spice para el Análisis Paramétrico del
Resonador RLC Serie

La Figura 8 muestra el modelo LT-Spice utilizado para realizar un análisis paramétrico del resonador RLC serie para estudiar su comportamiento al variar de la resistencia R_S.

La simulación está configurada para realizar un análisis AC entre 100MHz y 5GHz y calcular los parámetros de red para distintos valores de R_S (de 10 hasta 50Ω).

La Figura 9 muestra el resultado de la simulación para la ganancia del circuito. Observe como al aumentar de la resistencia R_S el Q del resonador empeora. Esto se refleja en el ancho de banda BW del circuito, que va aumentando a medida de que el Q empeora (es decir, disminuye).

Fig. 9. Análisis Paramétrico de la Ganancia del Resonador RLC Serie

Un resonador paralelo tiene un comportamiento dual respecto a su homólogo serie, ya que en este caso domina la rama del circuito con la reactancia más pequeña, porque, a través de esta rama pasará la corriente más grande. Por tanto:

1. Cuando X_L<X_C, el circuito RLC paralelo tendrá un comportamiento inductivo;
2. Cuando X_C<X_L, el circuito RLC paralelo tendrá un comportamiento capacitivo;
3. Cuando X_L=X_C, el circuito RLC paralelo tendrá un comportamiento resonante.

Cabe remarcar que tanto la resistencia del resonador serie como la del resonador paralelo representan las resistencias parásitas de los elementos reactivos (es decir, inductor y condensador), siendo dominante la contribución de la resistencia parásita del inductor.

Fig. 10. Transformación LR Serie-Paralelo en un Resonador
RLC Paralelo

Para poder estudiar el comportamiento del resonador RLC paralelo de forma más sencilla es oportuno realizar la transformación que se muestra en la Figura 10, en la que el circuito RL serie se transforma en un circuito RL paralelo.

Las resistencias e inductancias paralelo; es decir R_P y L_P, son ligadas a sus homólogos serie (R_S y L_S) a través del factor de calidad Q_L=X_L/R_S del inductor. El inductor equivalente del circuito resonante paralelo se L_P=L_S((Q_L²+1)/Q_L²), mientras que la resistencia equivalente del circuito resonante paralelo resulta ser R_P=R_S(Q_L²+1).

A la frecuencia de resonancia resulta X_L=X_C, por tanto las corrientes en las dos ramas del resonador son idénticas en módulo pero con fases opuestas por tanto se cancelan. En estas condiciones la impedancia de entrada del circuito es puramente resistiva y muy elevada ya que resulta igual a la resistencia parásita del inductor multiplicada por el cuadrado del factor de calidad del inductor.

Un circuito resonante paralelo se conoce también como tanque LC. Este circuito transfiere energía desde el condensador al inductor durante el ciclo positivo de la tensión de entrada y la almacena en el campo magnético del inductor. Por otro lado, durante el ciclo negativo de la tensión de entrada la energía realiza el camino inverso y viene almacenada en el campo eléctrico del dieléctrico del condensador.

Fig. 11. Modelo LT-Spice del Resonador RLC Paralelo

La Figura 11 muestra el circuito equivalente de un resonador RLC paralelo con un inductor con factor de calidad Q_L=4, diseñado para tener una frecuencia de resonancia de 1GHz.

Se realiza un análisis AC del circuito en el rango de frecuencias entre 100MHz y 5 GHz. La impedancia de entrada del resonador en función de la frecuencia se muestra en la Figura 12. Observe que a medida de que la frecuencia aumenta, aumentará también la impedancia de entrada. La impedancia alcanza un máximo (puramente resistivo e igual a R_P) a la frecuencia de resonancia del circuito. En estas condiciones, por el circuito circula una corriente I_tot=V_in/R_P. A frecuencias superiores a la de resonancia la impedancia de entrada vuelve a bajar. Este comportamiento se debe al hecho que a las bajas frecuencias predomina un comportamiento inductivo (se decir, la mayor parte de la frecuencia fluye por el inductor), mientras que a las altas frecuencias predomina un comportamiento capacitivo (es decir, la mayor parte de la corriente fluye por el condensador).

Fig. 12. Impedancia de Entrada del Resonador RLC Paralelo

Muy a menudo suele haber una resistencia externa R_L en paralelo con el tanque resonante LC. Esta resistencia aparece en paralelo con la resistencia equivalente paralelo del inductor R_P reduciendo el Q del resonador que se vuelve Q₀=(R_L||R_P)/X_L.

Carta de Smith y Aplicaciones

Cuando se analiza un circuito eléctrico, uno de los parámetros que hay que evaluar es la impedancia Z (o la admitancia Y=1/Z) medida en uno de sus puertos o entre dos terminales. La impedancia y la admitancia son funciones complejas de la pulsación  ω; es decir, $Z(\omega )=R+jX(\omega )$ y $Y(\omega )=G+jB(\omega ).$

$$
La expresión de Z(ω) puede ser muy compleja y difícil de calcular, ya que depende también de las características del medio de transmisión a través de la constante de propagación γ=α+jβ(ω) (donde representa las pérdidas del medio y el factor de fase que modela la dispersión del mismo) y de la posición z en la que se realiza la medida a lo largo del eje de propagación de la señal.

En el diseño de circuitos RF es posible representar una impedancia Z(ω)=R+jX(ω) en términos de su coeficiente de reflexión  Γ=(Z-$Z$₀)/(Z+$Z$₀) respecto a una impedancia de referencia $Z$₀:

Z=$Z$₀(1+Γ)/(1-Γ)

P. H. Smith

La Carta de Smith es un nomograma (es decir, una diagrama para realizar de forma gráfica cálculos complejos) que permite representar gráficamente el coeficiente de reflexión. Este procedimiento, inventado por P. H. Smith en 1939 permite representar, en un único diagrama también impedancias y admitancias.

Asimismo, la Carta de Smith puede utilizarse para calcular la relación de onda estacionaria de tensión de un línea (Voltage Standing Wave Ratio -VSWR), los parámetros scattering y diseñar redes de adaptación de impedancia entre un generador y una impedancia compleja de carga.

Fig. 1. La Carta de Smith

La Figura 1 representa una Carta de Smith con sus puntos característicos; es decir, el punto con resistencia nula (cortocircuito), resistencia infinita (circuito abierto). El círculo externo representa el lugar geométrico de las impedancias cuyo módulo del coeficiente de reflexión es unitario. Observe que las impedancias de tipo capacitivo (es decir, las impedancias cuya reactancia es negativa) se hallan en la parte inferior del diagrama. Por otro lado, las impedancias de tipo inductivo (es decir, las impedancias cuya reactancia es positiva) se hallan en la parte superior del diagrama. Las dos mitades están separadas por una recta que representa las impedancias puramente resistivas.

En la Carta de Smith se pueden distinguir una serie de curvas que permiten identificar de forma unívoca una impedancia o una admitancia. La Figura 2 muestra las curvas de impedancia. Estas curvas son de dos tipos:

1. Círculos de resistencia constante.
2. Curvas de reactancia constante.

Los círculos de resistencia constante identifican aquellas impedancias (de tipo inductivo o capacitivo) que tienen todas la misma parte real. Por otro lado, las curvas de reactancia constante identifican aquellas impedancias (de tipo inductivo o capacitivo) que tienen todas la misma parte imaginaria.

Fig. 2. Curvas de Impedancia

Es posible moverse a lo largo de la circunferencia simplemente cambiando la parte reactiva de la impedancia Z. Conectar a Z un inductor serie provoca un desplazamiento en sentido horario; por otro, lado, conectar a Z un condensador en serie provoca un desplazamiento en sentido anti-horario tal y como muestra la Figura 2.

Para moverse a lo largo de una curva de reactancia constante hay que variar la resistencia. Si la resistencia aumenta la impedancia se desplaza hacia la derecha; si la resistencia disminuye, la impedancia se desplaza hacia la izquierda tal y como se muestra en la Figura 3.

Fig. 3. Efecto de las Variaciones de las Resistencia

La carta de Smith tiene también una parte especular, es decir las curvas de admitancias. El comportamiento de las admitancias es exactamente el dual de las impedancias, por tanto para desplazarse a lo largo de las curvas de admitancias hay que colocar admitancias en paralelo.

Las curvas de admitancia tienen círculos de conductancia constante y curvas de susceptancia constante. De forma análoga a las curvas de impedancia, la intersección entre una curva de conductancia y una de susceptancia identificarán de forma unívoca una admitancia Y en la Carta de Smith.

Tal como se muestra en la Figura 4, un inductor en paralelo hará que Y se desplace en sentido anti-horario a lo largo de la circunferencia de conductancia constante   mientras que un condensador en paralelo provocará el efecto contrario. Por otro lado, si la conductancia aumenta, Y se desplazará a la izquierda a lo largo de la curva de susceptancia constante, mientras que si la conductancia disminuye el desplazamiento será hacia la derecha.

Fig. 4. Curvas de Admitancia

La Carta de Smith puede utilizarse para sintetizar redes de adaptación de impedancia con el objetivo de maximizar la potencia entregada a la carga.

Los desajustes entre la impedancia interna de la fuente de señal (por ejemplo una antena) y la impedancia de carga (por ejemplo la impedancia de entrada de un amplificador) pueden hacer que gran parte de la potencia incidente en la carga sea reflejada hacia la fuente en detrimento de la calidad de la señal recibida.

Fig. 5. Ejemplos de Adaptación Conjugada

Para diseñar la red de adaptación de impedancia adecuada hay que seguir el Teorema de la Máxima transferencia de Potencia y realizar una adaptación conjugada tal y como se muestra en la Figura 5. Realizar una adaptación de impedancia, pues, consiste en insertar entre fuente de señal y carga una red pasiva de dos puertos que realiza una transformación de impedancia. Hay dos opciones de diseño:

1. diseñar la red de manera que la impedancia que se ve desde el puerto (1) del circuito sea igual al conjugado de la impedancia interna de la fuente de señal $Z$_S.
2. diseñar la red de manera que la impedancia que se ve desde el puerto (2) del circuito sea igual al conjugado de la impedancia de carga $Z$_L.

Estas operaciones se pueden realizar de forma sencilla e intuitiva utilizando la Carta de Smith tal y como se ilustrará con el siguiente ejemplo. El objetivo es realizar una red de adaptación de impedancia paso-alto de tipo LC entre una antena con impedancia $Z$_A=20-j12Ω y una carga puramente resistiva de 50Ω a una frecuencia de 2450MHz. 

El factor de calidad Q de un circuito resonante puede calcularse como $f$₀/Δf, siendo $f$₀ la frecuencia de resonancia y Δf el ancho de banda del circuito resonante; por tanto, el ancho de banda de la red LC de adaptación de impedancia puede relacionarse al Q y a la frecuencia de resonancia:

Δf=$f$₀/Q

Esto significa que el valor del Q determina el ancho de banda de la adaptación, siendo un Q pequeño necesario para realizar una adaptación de banda ancha.

Fig. 6. Diseño de la Red de Adaptación Utilizando
las Curvas de Q Constante

El Q puede calcularse también como Q=X/R; es decir, como la relación entre la reactancia y la resistencia de la impedancia de antena $Z$_A. En el caso del diseño que pretendemos realizar el Q resulta ser Q=12/20=0.6. Esto significa que si el objetivo es realizar una red de adaptación paso-alto de banda ancha hay que garantizar que los desplazamientos sobre los círculos de conductancia y resistencia constantes estén limitados superiormente por el eje real e inferiormente por la curva de Q constante igual a 0.6 como muestra la Figura 6.

El resultado de la síntesis es una red LC formada por tres inductores y dos condensadores. La Figura 7 muestra la implementación en LT-Spice de la red LC de adaptación de impedancia.

Hay que modelar la antena con una fuente de tensión con una impedancia $Z$_A=20-j12Ω; sin embargo, LT-Spice permite modelar los elementos parásitos de una fuente de tensión como como una red RC paralelo. Por ello hay que convertir la impedancia $Z$_A de serie a paralelo utilizando, por ejemplo, un programa de conversión.

Fig. 7. Implementación en LT-Spice de la Red de Adaptación de Impedancia

Realizando un análisis de parámetros scattering con LT-Spice se obtiene el coeficiente de reflexión en el puerto de entrada (es decir, $S$₁₁) que se muestra en la Figura 8. La gráfica muestra una excelente adaptación de impedancia ($S$₁₁<-15 dB) en el rango de frecuencias incluidas entre 1.5GHz y 3.4GHz.

Fig. 8. El Coeficiente de Reflexión del Puerto de Entrada ( $S$₁₁) Simulado con LT-Spice

Cómo Simular Correctamente un Circuito Electrónico CMOS en Tecnologías Ultrasubmicrométricas

Diseñar un circuito integrado analógico CMOS es una tarea compleja, especialmente si el proceso de fabricación que se pretende utilizar se caracteriza por un tamaño mínimo de puerta inferior a los 0.35um.

Con tamaños de puerta tan reducidos predominan los efectos de canal corto porque la velocidad de los portadores mayoritarios en el canal (electrones o huecos) satura antes de que las cargas alcancen el drenador del transistor.

En estas condiciones, el modelo SPICE de Nivel 1 que se suele utilizar en los cálculos manuales pierde de validez ya que sobrestima la máxima corriente de drenador que fluye por el transistor. De hecho, cuando predominan los efectos de canal corto, la dependencia entre la corriente de drenador  y la diferencia de potencial entre puerta y surtidor es lineal.

A los efectos de canal corto hay que sumar también el hecho que normalmente, en los cálculos manuales, se suele despreciar el efecto del substrato (body effect) lo que aumenta ulteriormente la discrepancia entre el valor de corriente estimado y el real.

Por todos estos motivos el diseño de un circuito analógico debe ser llevado a cabo con sumo cuidado si se desea cumplir con las especificaciones. Asimismo, el diseño es un proceso iterativo a través el cual se converge, mediante simulación, a una solución correcta, utilizando como punto de partida los valores estimados en los cálculos manuales. Se trata pues de un problema abierto; diseñar un circuito equivale a explorar un espacio de soluciones válidas intentando acercarse a la óptima.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Analizar las especificaciones y las restricciones de diseño impuestas por la tecnología utilizada.
2.  Estimar los valores de corrientes y tensiones DC del circuito y las relaciones de aspecto W/L de los transistores, comprobando que todos los transistores del circuito estén efectivamente trabajando en la región de saturación de sus curvas características. Es probable que haya algún parámetro libre (es decir algún
   parámetro de diseño que no sea fijado ni implícitamente ni explícitamente por las especificaciones de diseño). Es tarea del diseñador, pues, fijar estos parámetros asignándoles valores congruos, realistas y conformes con la tecnología utilizada.
3. Realizar con SPICE un análisis DC del circuito para realizar un primer ajuste fino de los valores hallados en el paso anterior, sustituyendo la red de polarización con generadores de corriente ideal.
4. Realizar un segundo ajuste fino repitiendo el análisis DC sustituyendo los generadores de corriente ideal con los transistores que los implementan.
5. Realizar, finalmente el análisis final sobre el circuito (transitorio, AC o parámetros scattering) para verificar el cumplimiento de las especificaciones realizando, si procede, un ulterior ajuste fino.

Las capturas de pantalla que se muestran a continuación ilustran cómo aplicar los pasos anteriores para resolver el Problema 2.2 de la página 74 del libro de texto de la asignatura "Transmisión por Radiofrecuencia" (Fundamentals of High-Frequency CMOS Analog Integrated Circuits). Se trata de diseñar un amplificador de tipo Common-Drain (Drenador Común); es decir, un buffer.

Fig. 1. Primer Paso de Simulación de la Etapa Common Drain.

Una vez estimados los parámetros DC del buffer (corriente de polarización y tensión de puerta) y relación de aspecto W/L del transistor (pasos 1 y 2 de la metodología descrita anteriormente), hay que realizar una primera simulación del circuito (paso 3 de la metodología anterior).

El objetivo es ajustar el buffer (el transistor M1 de la Figura 1) de manera que la tensión DC en el nodo de salida (el nodo out de la Figura 1) sea 0V. Durante esta primera simulación se modela el transistor que sirve para polarizar M1 con un generador de corriente ideal que actúa como un pozo de corriente absorbiendo una corriente DC igual a Ibias. Durante esta fase los parámetros que puede manejar el diseñador son:

• la tensión de puerta VG1.
• la relación de aspecto del transistor W/L.

Hay que tener bien claro cuáles son las ventajas y los inconvenientes de modificar estos parámetros. Aumentar la tensión VG1, es decir la tensión DC en la puerta del transistor implica una reducción del margen dinámico de entrada del amplificador (es decir una reducción del máximo valor pico-pico de la señal de entrada). Aumentar la relación de aspecto del transistor implica un aumento de las capacidades parásitas del circuito empeorando el comportamiento en frecuencia del amplificador (es decir, reduciendo su ancho de banda).

Fig. 2. Segundo Paso de Simulación de la Etapa Common Drain.

A continuación (Figuta 2) se realiza otra simulación DC del circuito sustituyendo el generador ideal con un transistor M2 que actúa como un pozo de corriente (paso 4 de la metodología de diseño anterior). Durante esta fase hay que centrarse en fijar la tensión de puerta más adecuada para M2 y la relación de aspecto W/L que garantiza que la tensión DC del nodo de salida sea 0V. 

Finalmente hay que realizar el paso 5 de la metodología de diseño simulando el circuito completo y verificando que se cumplan las especificaciones. En el ejemplo tratado en este artículo me limito a realizar simplemente un análisis de transitorio (Figura 3). En el circuito completo hay que dimensionar de forma adecuada resistencias de polarización y condensadores de desacoplamiento. 

Fig. 3. Análisis de Transitorio de la Etapa Common Drain.  

El valor escogido para la resistencia RG1 debe ser lo suficientemente grande de manera que la corriente que fluya a través de esta resistencia y el ruido térmico inyectado en el circuito puedan considerarse despreciables y lo suficientemente pequeña para que pueda implementarse de forma monolítica en un circuito integrado.

El condensador de desacoplamiento Cc tiene que tener una capacidad lo suficientemente elevada de manera que su reactancia sea prácticamente despreciable en el rango de frecuencias de interés. Normalmente, los valores típicos de capacidad de un condensador de desacoplamiento son demasiado elevados para que sea práctica su realización monolítica en un circuito integrado. Se trata pues de componentes localizados off-chip. 

Fig. 4. El Resultado del Análisis de Transitorio.

Finalmente, la Figura 4 muestra el resultado del análisis de transitorio. Observe que la ganancia del circuito es aproximadamente 0.5 mientras que la ganancia teórica de un buffer es aproximadamente 1. Esta reducción de ganancia se debe a las especificaciones de diseño que exigen la adaptación de impedancia entre el buffer y la carga resistiva de 600 Ohmios. Esta restricción impone diseñar el amplificador de manera que su resistencia de salida sea igual a la resistencia de carga. La adaptación energética maximiza la potencia entregada por el amplificador a la carga; sin embargo, un pico de potencia no se corresponde a un pico de tensión en la carga.