Filtros Analógicos. Parte I: Respuesta en Frecuencia y Distribución de Raíces

Éste es el primero de una serie de cuatro artículos dedicados al diseño de filtros. En este artículo introductorio, analizaré las respuestas en frecuencia estándar de filtros del segundo orden.  

Un filtro es una red que realiza un procesamiento dependiente de la frecuencia sobre una señal en entrada. El comportamiento de un filtro puede entenderse fácilmente a partir del análisis del comportamiento en frecuencia de la impedancia de los elementos reactivos (inductores y condensadores). Un ejemplo muy sencillo es un divisor de tensión RC en el que la resistencia está en serie con la señal de entrada. La impedancia del condensador depende de la frecuencia, por tanto si cambia la frecuencia de la señal de entrada cambiará la relación de división de tensión. En este caso específico disminuirá, lo que producirá una atenuación de la señal en entrada.   

Este mecanismo llevará a un cambio de la función de transferencia (es decir, de la relación entre salida y entrada de la red) que es definida como la respuesta en frecuencia.

Los filtros tienen muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el filtro pasobajo RC de polo sencillo que se acaba de describir (conocido también como integrador) se utiliza para estabilizar etapas amplificadoras controlando la pendiente (roll-off) de la ganancia a las altas frecuencia, donde una rotación de fase excesiva puede producir oscilaciones o inestabilidad.

Por otro lado, un filtro paso-alto de polo sencillo puede utilizarse para eliminar la componente continua o los offsets de una señal antes de que sea procesada por amplificadores de elevada ganancia.

Los filtros pueden utilizarse también como circuitos selectivos (especialmente en transceptores radio) para amplificar las señales a las frecuencias de interés y atenuar las señales fuera de banda.

Los filtros se utilizan de forma intensiva también en aplicaciones de señal mixta como los sistemas de conversión A/D (Analógico-Digital) y D/A (Digital-Analógico). Los sistemas A/D precisan filtros antialiasing (de tipo pasobajo) en entrada para eliminar espurios de alta frecuencia y restringir el ancho de banda de la señal antes de la operación de muestreo y poder cumplir con los requisitos impuestos por el teorema del muestreo (poner enlace Wikipedia). También en sistemas de conversión D/A es necesario limitar el ancho de banda de la señal analógica de salida mediante un filtro pasobajo (conocido también como filtro de reconstrucción o filtro de rechazo de imagen –anti-imaging) para eliminar espurios de alta frecuencia (como, por ejemplo, la frecuencia de muestro y sus armónicos) evitando problemas de sinonimia entre frecuencias (es decir, aliasing; o sea,  que componentes de altas frecuencias sean reconstruidas como componentes de baja frecuencia) y suavizando la señal de salida.

A pesar de que el enfoque de este artículo sea eminentemente práctico, para poder entender los resultados y los principales desarrollos, se requiere un conocimiento mínimo de análisis complejo, transformadas de Laplace y sistemas lineales.

Fig 1. Respuestas en frecuencia de. (a) un filtro pasobajo, (b) un filtro pasoalto,
(c) un filtro pasobanda y (d) un filtro de rechazo de banda 

La Fig. 1(a) muestra la respuesta de un filtro pasobajo ideal comparada con una respuesta real. Para este tipo de filtro las bajas frecuencias se encuentran en la banda de paso, mientras que las altas frecuencias se hallan en la banda de corte.

El filtro que realiza la funcionalidad complementaria a la de un filtro pasobajo es el filtro pasoalto, cuyas respuestas ideal y real se muestran en la Fig. 1(b). En este caso, las altas frecuencias se hallan en la banda de paso, mientras que las bajas frecuencias se hallan en la banda de corte.

Si un filtro pasoalto y un filtro pasobajo se conectan en cascada, se realiza un filtro pasobanda, cuyas respuestas ideal y real se muestran en la Fig. 1(c). En este caso, el filtro deja pasar aquellas frecuencias incluidas entre la frecuencia de corte inferior f_L y la frecuencia de corte superior f_H. Las frecuencias por debajo de f_L y por encima de f_H caen en la banda de corte del filtro.

El filtro que realiza la función complementaria a la de un filtro pasobanda es el filtro de rechazo de banda o filtro de grieta (notch filter), cuyas respuestas ideal y real se muestran en la Fig. 1(d). En este caso, las frecuencias por debajo de f_L y por encima de f_H se hallan en la banda de paso del filtro, mientras que las frecuencias desde f_L hasta f_H forman la banda de corte.

Un filtro ideal tiene una respuesta en frecuencia caracterizada por una ganancia A (que es unitaria en el caso de filtros pasivos ideales; es decir, sin pérdidas) para las frecuencias de interés (llamadas también banda de paso) y cero para todas las otras frecuencias (llamadas también banda de corte). La frecuencia a la que la respuesta cambia pasando de la banda de paso a la banda de corte se conoce como frecuencia de corte.

La Fig. 1 define también los cinco parámetros característicos de un filtro:

1.  La frecuencia de corte f_c; 
2. La frecuencia de inicio de la banda de corte f_s; 
3. El valor pico-pico A_max del rizado en la banda de paso; 
4. El valor de pico A_min del rizado en la banda de corte (es decir, la mínima atenuación);
5. La pendiente de la respuesta en frecuencia que determina la anchura de la banda de transición.

Fig. 2. Respuesta estándar de un filtro pasobajo

El proceso de diseño de un filtro empieza, por ejemplo, especificando la máscara espectral a la que debe ceñirse la respuesta en frecuencia del circuito. Por ejemplo, la Fig. 2 representa la máscara espectral de un filtro pasobajo. 

Observe que un dispositivo real no puede proporcionar una transmisión constante para todas las frecuencias de la banda de paso; por tanto, las especificaciones toleran un rizado de amplitud A_max en la banda de paso y, por tanto una desviación de ±A_max/2 respecto al valor de transmisión nominal. Valores de rizado típicos varían, dependiendo de la aplicación, entre 0.05 y 1 dB. Asimismo, un circuito real no puede proporcionar una transmisión nula en la banda de corte. Las especificaciones deben permitir una atenuación mínima A_min en la banda de corte. Dependiendo de la aplicación A_min puede variar entre 20 y 100 dB.

La transmisión no puede experimentar un cambio abrupto entre la banda de paso y la banda de corte; por ello, las especificaciones fijan una banda de transición que se extiende desde w_c hasta w_s en la que la atenuación va aumentando hasta alcanzar el valor mínimo A_min.

La relación w_c/w_s entre la frecuencia de corte w_c (que limita la banda de paso) y la frecuencia w_s (que marca el comienzo de la banda de corte) es una medida de la aspereza de la transición y se conoce también como factor de selectividad del filtro pasobajo.

Cuanto más pequeño es A_max y más grande es A_min  (es decir, cuanto más la relación w_c/w_s se acerca a la unidad); tanto más la respuesta del filtro se acerca a su forma ideal. No obstante, esto implica aumentar el orden del filtro y, por tanto su complejidad de implementación y su coste. 

El comportamiento de un filtro puede especificarse también mediante la fase de su respuesta en frecuencia. Sin embargo considerar a la vez tanto restricciones de magnitud como de fase de la respuesta complica considerablemente el diseño.

Volviendo al filtro pasobajo cuya respuesta se muestra en la Fig. 2, cabe observar que tanto los rizos en la banda de paso como los rizos en la banda de corte tienen la misma altura, por ello esta tipología de filtro se conoce también como filtro de rizado uniforme (equiripple).

Cabe hacer hincapié que no todos los tipos de respuesta en frecuencia se caracterizan por tener un rizado en la banda de paso y en la banda de corte. Por ejemplo, una respuesta en frecuencia de tipo Butterworth se conoce también como respuesta máximamente plana debido a la ausencia de rizado. El rizado en la banda de paso define un error de ganancia que depende de la magnitud de A_max del rizado, por ello la banda de paso se denomina también banda de error.

La frecuencia de corte f_c es la frecuencia a la que termina la banda de error y se entra en la banda de transición. Para un filtro con respuesta de tipo Butterworth esta frecuencia corresponde con la frecuencia de -3 dB. La frecuencia de inicio de la banda de corte f_s es la frecuencia a la que la respuesta alcanza la mínima atenuación A_min. La diferencia entre f_c  y f_s define la anchura de la banda de transición y, por tanto, la pendiente de la respuesta en frecuencia del filtro. La pendiente es definida como el orden n del filtro; n es también el número de polos de la función de transferencia. 

Un polo es una raíz del denominador de la función de transferencia del filtro. De forma análoga, un cero es una raíz del numerador de la función de transferencia. Cada polo aumenta la pendiente de la respuesta en frecuencia en la región de transición de -6 dB/octava (o, de forma equivalente, de -20 dB/década). Por otro lado, un cero aumenta la pendiente  de la respuesta en frecuencia en la región de transición de +6 dB/octava (o, de forma equivalente, de +20 dB/década). Cabe también remarcar que polos y ceros afectan también a la fase de la respuesta en frecuencia. Cada polo introduce una rotación de fase de -90º; por otro lado, cada cero negativo introduce una rotación de fase opuesta, es decir, de +90º.

Cuando se diseña un filtro a partir de unas especificaciones dadas, lo más normal es que uno o más de los parámetros definidos de antemano sean dados, mientras que los restantes deben ser deducidos utilizando tablas de diseño, hojas de cálculo o programas específicos. Por ejemplo, si se quisiera diseñar un filtro antialiasing para un convertidor A/D lo que se suele conocer a priori son la máxima frecuencia que no debe ser filtrada (no confunda esta frecuencia con la frecuencia de corte del filtro; es decir, la frecuencia a la que la ganancia se ha reducido de -3 dB), la frecuencia de inicio de la banda de corte (que normalmente suele ser la frecuencia de Nyquist; es decir, la mitad de la frecuencia de muestreo a la que opera el convertidor A/D) y la mínima atenuación en la banda de corte del filtro(que normalmente es determinada a partir de la resolución o del rango dinámico del convertidor). Los otros parámetros, como la frecuencia de corte y el factor de calidad del filtro, se pueden deducir utilizando tablas o software específico.

Tal y como se ha mencionado de antemano, los filtros tienen una respuesta que depende de la frecuencia ya que inductores y condensadores tienen impedancias dependientes de la frecuencia; es decir, Z_C=1/sC y Z_L=sL. representan, respectivamente, las impedancias de un condensador y de un inductor en el dominio de Laplace, siendo s=σ+jω una pulsación compleja en la que  representa la frecuencia neperiana o atenuación medida en  nepers por segundo (Np/s) y  representa la frecuencia angular medida en  radianes por segundo (rad/s).

Es posible calcular la respuesta en frecuencia (es decir, la función de transferencia H(s)) de un filtro, utilizando las técnicas de análisis estándar desarrolladas en un cualquier curso de teoría de circuitos (ley de Ohm, leyes de Kirchoff de tensiones y de corrientes, superposición de los efectos) y recordando que las impedancias son complejas.

En general, una función de transferencia H(s) en el dominio de Laplace en su forma más general es una función racional (es decir, la razón o cociente) de dos polinomios de grado m y n respectivamente en la variable compleja s con coeficientes reales a_i y b_j (con 0≤ i ≤m y 0≤ j ≤n):

Los polinomios del numerador y del denominador de H(s) pueden factorizarse obteniendo:

El grado del denominador representa el orden del filtro. Las raíces z₁, z₂, . . . , z_m del numerador representan los ceros de transmisión del circuito mientras que las raíces p₁, p₂, . . . , p_n del denominador representan los polos o modos naturales. Las raíces pueden ser reales o complejas; sin embargo, las raíces complejas siempre ocurren en pares complejos y conjugados. Es posible representar gráficamente las raíces en el plano complejo en el que el eje real representa la frecuencia neperiana σ y el eje imaginario representa la frecuencia angular (o pulsación) ω.

La función de transferencia H(s) puede tener también unos ceros de transmisión a frecuencia infinita. El número de ceros de transmisión depende de la diferencia entre los grados de numerador y denominador y es n-m, siendo n el grado del denominador y m el grado del numerador.

En la banda de corte del filtro la transmisión debe ser cero o muy pequeña (es decir, la atenuación debe ser muy elevada); por ello, los ceros de transmisión del circuito deben estar colocados en el eje imaginario a frecuencias que caen en la banda de corte. Por ejemplo, volviendo al filtro pasobajo de la Fig. 2 se puede observar:

1. Que la respuesta tiene dos ceros en ω_z1 y ω_z2 respectivamente; por tanto, recordando que los ceros deben ser de tipo complejos y conjugados, la respuesta tendrá cuatro ceros en ±jω_z1 y±jω_z2 respectivamente. El numerador de H(s) será, por tanto, de la forma (s-jω_z1)(s+jω_z1)(s-jω_z2)(s+jω_z2)=(s²+ω²_z1)(s²+ω²_z2).
2. Que, siendo la respuesta de tipo pasobajo, el grado del denominador (y, por tanto, el orden del filtro) debe ser igual al número total de máximos y mínimos del rizado en la banda de paso. Se trata pues de un filtro del quinto orden.
3. El orden del filtro es impar, esto significa que hay un polo real, mientras los otros serán complejos y conjugados.
4. El grado del numerador es m=4, el del denominador es n=5, por tanto hay n-m=1 cero de transmisión por s=¥. De hecho, el factor de transmisión decrece cuando s®¥.

Fig 3. Distribución de las raíces del filtro pasobajo de la Fig. 2

La selectividad del filtro depende de la colocación de los polos en el plano complejo. La mejor selectividad se alcanza cuando los polos son de tipo complejo y conjugado y cuando se acercan lo más posible al eje imaginario jω.

Finalmente, para garantizar la estabilidad del circuito, todos los polos deben yacer en el semiplano s izquierdo; es decir, p₁, p₂, . . . , p_n deben tener todos partes reales negativas. La Fig. 3 muestra las posiciones típicas de polos y ceros del filtro pasobajo del quinto orden la cuya función de transferencia H(s) está representada en la Fig. 2. El filtro tiene dos pares de polos complejos y conjugados y un polo real. Todos los polos se hallan en proximidad de la frecuencia de corte w_c, lo que proporciona al circuito una ganancia elevada en lavanda de paso. Los cincos ceros de transmisión se hallan en ±jω_z1, ±jω_z2 y s= ¥ respectivamente. Por consiguiente la función de transferencia es de la forma:

Realizar un filtro con una respuesta ideal no es posible en la práctica ya que, como se muestra en todas las respuestas de la Fig. 2, debido a los retardos introducidos por los dispositivos electrónicos que forman el filtro, la transición entre banda de corte y banda de paso no es instantánea, sino que tendrá cierta pendiente más o menos abrupta dependiendo del orden del filtro y definirá una región que se denomina región o banda de transición del filtro.  Asimismo, la atenuación en la banda de corte no será infinita.

La Fig. 4 muestra la distribuciones de polos y ceros para un filtro pasobanda y uno pasoalto.

Fig 4. Distribución de las raíces de (a) un filtro pasoalto y (b) un filtro pasobanda

La Fig. 4(a) muestra la distribución de raíces de un filtro pasoalto del quinto orden. El orden es impar por lo que el filtro tiene un polo real además de dos pares de polos complejos y conjugados. El comportamiento es pasoalto, por consiguiente la ganancia asintótica por s®¥ debe ser finita. Esto implica que numerador y denominador de la función de transferencia del filtro tienen el mismo orden. En este caso el filtro tiene un cero quíntuple en el origen.

La Fig. 4(b) muestra la distribución de las raíces de un filtro pasobanda del sexto orden de ancho de banda ω_c2-ω_c1. La respuesta del filtro tiene dos ceros de transmisión en las bandas de corte (con sus dos respectivos ceros conjugados). La respuesta de tipo pasobanda implica también la presencia de un cero en el origen; por consiguiente, el grado del numerador es m=5, lo que implica la presencia de un cero de transmisión por  s=¥.

Fig. 5. Respuesta y distribución de raíces de un filtro pasobajo all-pole del quinto orden

Un caso interesante es el de un filtro pasobajo cuya función de transferencia se caracteriza por tener sólo polos. Un filtro con estas características se conoce como filtro “all-pole” y su respuesta en frecuencia y distribución de raíces se muestran en la Figura 5. Un filtro pasobajo all-pole de orden n tiene n ceros de transmisión en s=¥ y la función de transferencia siguiente: