Filtros Analógicos. Parte I: Respuesta en Frecuencia y Distribución de Raíces

Éste es el primero de una serie de cuatro artículos dedicados al diseño de filtros. En este artículo introductorio, analizaré las respuestas en frecuencia estándar de filtros del segundo orden.  

Un filtro es una red que realiza un procesamiento dependiente de la frecuencia sobre una señal en entrada. El comportamiento de un filtro puede entenderse fácilmente a partir del análisis del comportamiento en frecuencia de la impedancia de los elementos reactivos (inductores y condensadores). Un ejemplo muy sencillo es un divisor de tensión RC en el que la resistencia está en serie con la señal de entrada. La impedancia del condensador depende de la frecuencia, por tanto si cambia la frecuencia de la señal de entrada cambiará la relación de división de tensión. En este caso específico disminuirá, lo que producirá una atenuación de la señal en entrada.   

Este mecanismo llevará a un cambio de la función de transferencia (es decir, de la relación entre salida y entrada de la red) que es definida como la respuesta en frecuencia.

Los filtros tienen muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el filtro pasobajo RC de polo sencillo que se acaba de describir (conocido también como integrador) se utiliza para estabilizar etapas amplificadoras controlando la pendiente (roll-off) de la ganancia a las altas frecuencia, donde una rotación de fase excesiva puede producir oscilaciones o inestabilidad.

Por otro lado, un filtro paso-alto de polo sencillo puede utilizarse para eliminar la componente continua o los offsets de una señal antes de que sea procesada por amplificadores de elevada ganancia.

Los filtros pueden utilizarse también como circuitos selectivos (especialmente en transceptores radio) para amplificar las señales a las frecuencias de interés y atenuar las señales fuera de banda.

Los filtros se utilizan de forma intensiva también en aplicaciones de señal mixta como los sistemas de conversión A/D (Analógico-Digital) y D/A (Digital-Analógico). Los sistemas A/D precisan filtros antialiasing (de tipo pasobajo) en entrada para eliminar espurios de alta frecuencia y restringir el ancho de banda de la señal antes de la operación de muestreo y poder cumplir con los requisitos impuestos por el teorema del muestreo (poner enlace Wikipedia). También en sistemas de conversión D/A es necesario limitar el ancho de banda de la señal analógica de salida mediante un filtro pasobajo (conocido también como filtro de reconstrucción o filtro de rechazo de imagen –anti-imaging) para eliminar espurios de alta frecuencia (como, por ejemplo, la frecuencia de muestro y sus armónicos) evitando problemas de sinonimia entre frecuencias (es decir, aliasing; o sea,  que componentes de altas frecuencias sean reconstruidas como componentes de baja frecuencia) y suavizando la señal de salida.

A pesar de que el enfoque de este artículo sea eminentemente práctico, para poder entender los resultados y los principales desarrollos, se requiere un conocimiento mínimo de análisis complejo, transformadas de Laplace y sistemas lineales.

Fig 1. Respuestas en frecuencia de. (a) un filtro pasobajo, (b) un filtro pasoalto,
(c) un filtro pasobanda y (d) un filtro de rechazo de banda 

La Fig. 1(a) muestra la respuesta de un filtro pasobajo ideal comparada con una respuesta real. Para este tipo de filtro las bajas frecuencias se encuentran en la banda de paso, mientras que las altas frecuencias se hallan en la banda de corte.

El filtro que realiza la funcionalidad complementaria a la de un filtro pasobajo es el filtro pasoalto, cuyas respuestas ideal y real se muestran en la Fig. 1(b). En este caso, las altas frecuencias se hallan en la banda de paso, mientras que las bajas frecuencias se hallan en la banda de corte.

Si un filtro pasoalto y un filtro pasobajo se conectan en cascada, se realiza un filtro pasobanda, cuyas respuestas ideal y real se muestran en la Fig. 1(c). En este caso, el filtro deja pasar aquellas frecuencias incluidas entre la frecuencia de corte inferior f_L y la frecuencia de corte superior f_H. Las frecuencias por debajo de f_L y por encima de f_H caen en la banda de corte del filtro.

El filtro que realiza la función complementaria a la de un filtro pasobanda es el filtro de rechazo de banda o filtro de grieta (notch filter), cuyas respuestas ideal y real se muestran en la Fig. 1(d). En este caso, las frecuencias por debajo de f_L y por encima de f_H se hallan en la banda de paso del filtro, mientras que las frecuencias desde f_L hasta f_H forman la banda de corte.

Un filtro ideal tiene una respuesta en frecuencia caracterizada por una ganancia A (que es unitaria en el caso de filtros pasivos ideales; es decir, sin pérdidas) para las frecuencias de interés (llamadas también banda de paso) y cero para todas las otras frecuencias (llamadas también banda de corte). La frecuencia a la que la respuesta cambia pasando de la banda de paso a la banda de corte se conoce como frecuencia de corte.

La Fig. 1 define también los cinco parámetros característicos de un filtro:

1.  La frecuencia de corte f_c; 
2. La frecuencia de inicio de la banda de corte f_s; 
3. El valor pico-pico A_max del rizado en la banda de paso; 
4. El valor de pico A_min del rizado en la banda de corte (es decir, la mínima atenuación);
5. La pendiente de la respuesta en frecuencia que determina la anchura de la banda de transición.

Fig. 2. Respuesta estándar de un filtro pasobajo

El proceso de diseño de un filtro empieza, por ejemplo, especificando la máscara espectral a la que debe ceñirse la respuesta en frecuencia del circuito. Por ejemplo, la Fig. 2 representa la máscara espectral de un filtro pasobajo. 

Observe que un dispositivo real no puede proporcionar una transmisión constante para todas las frecuencias de la banda de paso; por tanto, las especificaciones toleran un rizado de amplitud A_max en la banda de paso y, por tanto una desviación de ±A_max/2 respecto al valor de transmisión nominal. Valores de rizado típicos varían, dependiendo de la aplicación, entre 0.05 y 1 dB. Asimismo, un circuito real no puede proporcionar una transmisión nula en la banda de corte. Las especificaciones deben permitir una atenuación mínima A_min en la banda de corte. Dependiendo de la aplicación A_min puede variar entre 20 y 100 dB.

La transmisión no puede experimentar un cambio abrupto entre la banda de paso y la banda de corte; por ello, las especificaciones fijan una banda de transición que se extiende desde w_c hasta w_s en la que la atenuación va aumentando hasta alcanzar el valor mínimo A_min.

La relación w_c/w_s entre la frecuencia de corte w_c (que limita la banda de paso) y la frecuencia w_s (que marca el comienzo de la banda de corte) es una medida de la aspereza de la transición y se conoce también como factor de selectividad del filtro pasobajo.

Cuanto más pequeño es A_max y más grande es A_min  (es decir, cuanto más la relación w_c/w_s se acerca a la unidad); tanto más la respuesta del filtro se acerca a su forma ideal. No obstante, esto implica aumentar el orden del filtro y, por tanto su complejidad de implementación y su coste. 

El comportamiento de un filtro puede especificarse también mediante la fase de su respuesta en frecuencia. Sin embargo considerar a la vez tanto restricciones de magnitud como de fase de la respuesta complica considerablemente el diseño.

Volviendo al filtro pasobajo cuya respuesta se muestra en la Fig. 2, cabe observar que tanto los rizos en la banda de paso como los rizos en la banda de corte tienen la misma altura, por ello esta tipología de filtro se conoce también como filtro de rizado uniforme (equiripple).

Cabe hacer hincapié que no todos los tipos de respuesta en frecuencia se caracterizan por tener un rizado en la banda de paso y en la banda de corte. Por ejemplo, una respuesta en frecuencia de tipo Butterworth se conoce también como respuesta máximamente plana debido a la ausencia de rizado. El rizado en la banda de paso define un error de ganancia que depende de la magnitud de A_max del rizado, por ello la banda de paso se denomina también banda de error.

La frecuencia de corte f_c es la frecuencia a la que termina la banda de error y se entra en la banda de transición. Para un filtro con respuesta de tipo Butterworth esta frecuencia corresponde con la frecuencia de -3 dB. La frecuencia de inicio de la banda de corte f_s es la frecuencia a la que la respuesta alcanza la mínima atenuación A_min. La diferencia entre f_c  y f_s define la anchura de la banda de transición y, por tanto, la pendiente de la respuesta en frecuencia del filtro. La pendiente es definida como el orden n del filtro; n es también el número de polos de la función de transferencia. 

Un polo es una raíz del denominador de la función de transferencia del filtro. De forma análoga, un cero es una raíz del numerador de la función de transferencia. Cada polo aumenta la pendiente de la respuesta en frecuencia en la región de transición de -6 dB/octava (o, de forma equivalente, de -20 dB/década). Por otro lado, un cero aumenta la pendiente  de la respuesta en frecuencia en la región de transición de +6 dB/octava (o, de forma equivalente, de +20 dB/década). Cabe también remarcar que polos y ceros afectan también a la fase de la respuesta en frecuencia. Cada polo introduce una rotación de fase de -90º; por otro lado, cada cero negativo introduce una rotación de fase opuesta, es decir, de +90º.

Cuando se diseña un filtro a partir de unas especificaciones dadas, lo más normal es que uno o más de los parámetros definidos de antemano sean dados, mientras que los restantes deben ser deducidos utilizando tablas de diseño, hojas de cálculo o programas específicos. Por ejemplo, si se quisiera diseñar un filtro antialiasing para un convertidor A/D lo que se suele conocer a priori son la máxima frecuencia que no debe ser filtrada (no confunda esta frecuencia con la frecuencia de corte del filtro; es decir, la frecuencia a la que la ganancia se ha reducido de -3 dB), la frecuencia de inicio de la banda de corte (que normalmente suele ser la frecuencia de Nyquist; es decir, la mitad de la frecuencia de muestreo a la que opera el convertidor A/D) y la mínima atenuación en la banda de corte del filtro(que normalmente es determinada a partir de la resolución o del rango dinámico del convertidor). Los otros parámetros, como la frecuencia de corte y el factor de calidad del filtro, se pueden deducir utilizando tablas o software específico.

Tal y como se ha mencionado de antemano, los filtros tienen una respuesta que depende de la frecuencia ya que inductores y condensadores tienen impedancias dependientes de la frecuencia; es decir, Z_C=1/sC y Z_L=sL. representan, respectivamente, las impedancias de un condensador y de un inductor en el dominio de Laplace, siendo s=σ+jω una pulsación compleja en la que  representa la frecuencia neperiana o atenuación medida en  nepers por segundo (Np/s) y  representa la frecuencia angular medida en  radianes por segundo (rad/s).

Es posible calcular la respuesta en frecuencia (es decir, la función de transferencia H(s)) de un filtro, utilizando las técnicas de análisis estándar desarrolladas en un cualquier curso de teoría de circuitos (ley de Ohm, leyes de Kirchoff de tensiones y de corrientes, superposición de los efectos) y recordando que las impedancias son complejas.

En general, una función de transferencia H(s) en el dominio de Laplace en su forma más general es una función racional (es decir, la razón o cociente) de dos polinomios de grado m y n respectivamente en la variable compleja s con coeficientes reales a_i y b_j (con 0≤ i ≤m y 0≤ j ≤n):

Los polinomios del numerador y del denominador de H(s) pueden factorizarse obteniendo:

El grado del denominador representa el orden del filtro. Las raíces z₁, z₂, . . . , z_m del numerador representan los ceros de transmisión del circuito mientras que las raíces p₁, p₂, . . . , p_n del denominador representan los polos o modos naturales. Las raíces pueden ser reales o complejas; sin embargo, las raíces complejas siempre ocurren en pares complejos y conjugados. Es posible representar gráficamente las raíces en el plano complejo en el que el eje real representa la frecuencia neperiana σ y el eje imaginario representa la frecuencia angular (o pulsación) ω.

La función de transferencia H(s) puede tener también unos ceros de transmisión a frecuencia infinita. El número de ceros de transmisión depende de la diferencia entre los grados de numerador y denominador y es n-m, siendo n el grado del denominador y m el grado del numerador.

En la banda de corte del filtro la transmisión debe ser cero o muy pequeña (es decir, la atenuación debe ser muy elevada); por ello, los ceros de transmisión del circuito deben estar colocados en el eje imaginario a frecuencias que caen en la banda de corte. Por ejemplo, volviendo al filtro pasobajo de la Fig. 2 se puede observar:

1. Que la respuesta tiene dos ceros en ω_z1 y ω_z2 respectivamente; por tanto, recordando que los ceros deben ser de tipo complejos y conjugados, la respuesta tendrá cuatro ceros en ±jω_z1 y±jω_z2 respectivamente. El numerador de H(s) será, por tanto, de la forma (s-jω_z1)(s+jω_z1)(s-jω_z2)(s+jω_z2)=(s²+ω²_z1)(s²+ω²_z2).
2. Que, siendo la respuesta de tipo pasobajo, el grado del denominador (y, por tanto, el orden del filtro) debe ser igual al número total de máximos y mínimos del rizado en la banda de paso. Se trata pues de un filtro del quinto orden.
3. El orden del filtro es impar, esto significa que hay un polo real, mientras los otros serán complejos y conjugados.
4. El grado del numerador es m=4, el del denominador es n=5, por tanto hay n-m=1 cero de transmisión por s=¥. De hecho, el factor de transmisión decrece cuando s®¥.

Fig 3. Distribución de las raíces del filtro pasobajo de la Fig. 2

La selectividad del filtro depende de la colocación de los polos en el plano complejo. La mejor selectividad se alcanza cuando los polos son de tipo complejo y conjugado y cuando se acercan lo más posible al eje imaginario jω.

Finalmente, para garantizar la estabilidad del circuito, todos los polos deben yacer en el semiplano s izquierdo; es decir, p₁, p₂, . . . , p_n deben tener todos partes reales negativas. La Fig. 3 muestra las posiciones típicas de polos y ceros del filtro pasobajo del quinto orden la cuya función de transferencia H(s) está representada en la Fig. 2. El filtro tiene dos pares de polos complejos y conjugados y un polo real. Todos los polos se hallan en proximidad de la frecuencia de corte w_c, lo que proporciona al circuito una ganancia elevada en lavanda de paso. Los cincos ceros de transmisión se hallan en ±jω_z1, ±jω_z2 y s= ¥ respectivamente. Por consiguiente la función de transferencia es de la forma:

Realizar un filtro con una respuesta ideal no es posible en la práctica ya que, como se muestra en todas las respuestas de la Fig. 2, debido a los retardos introducidos por los dispositivos electrónicos que forman el filtro, la transición entre banda de corte y banda de paso no es instantánea, sino que tendrá cierta pendiente más o menos abrupta dependiendo del orden del filtro y definirá una región que se denomina región o banda de transición del filtro.  Asimismo, la atenuación en la banda de corte no será infinita.

La Fig. 4 muestra la distribuciones de polos y ceros para un filtro pasobanda y uno pasoalto.

Fig 4. Distribución de las raíces de (a) un filtro pasoalto y (b) un filtro pasobanda

La Fig. 4(a) muestra la distribución de raíces de un filtro pasoalto del quinto orden. El orden es impar por lo que el filtro tiene un polo real además de dos pares de polos complejos y conjugados. El comportamiento es pasoalto, por consiguiente la ganancia asintótica por s®¥ debe ser finita. Esto implica que numerador y denominador de la función de transferencia del filtro tienen el mismo orden. En este caso el filtro tiene un cero quíntuple en el origen.

La Fig. 4(b) muestra la distribución de las raíces de un filtro pasobanda del sexto orden de ancho de banda ω_c2-ω_c1. La respuesta del filtro tiene dos ceros de transmisión en las bandas de corte (con sus dos respectivos ceros conjugados). La respuesta de tipo pasobanda implica también la presencia de un cero en el origen; por consiguiente, el grado del numerador es m=5, lo que implica la presencia de un cero de transmisión por  s=¥.

Fig. 5. Respuesta y distribución de raíces de un filtro pasobajo all-pole del quinto orden

Un caso interesante es el de un filtro pasobajo cuya función de transferencia se caracteriza por tener sólo polos. Un filtro con estas características se conoce como filtro “all-pole” y su respuesta en frecuencia y distribución de raíces se muestran en la Figura 5. Un filtro pasobajo all-pole de orden n tiene n ceros de transmisión en s=¥ y la función de transferencia siguiente:

Baluns

Un balun (acrónimo de balance-unbalance) es un dispositivo de tres puertos que transforma una señal equilibrada (balanced), es decir, una señal diferencial, en una no equilbrada (unbalanced o single-end). Desde el punto de vista eléctrico esto significa que la potencia en entrada se reparte entre dos canales con igual magnitud pero en oposición de fase (es decir, con un desfase de 180º). 

Este tipo de dispositivo es necesario en casi toda clase de transceptores RF. Tradicionalmente, los baluns se han realizado utilizando componentes distribuidos. No obstante, las técnicas distribuidas, que se caracterizan por sus excelentes prestaciones, no son adecuadas para diseños que operan a las bajas frecuencias debido a su gran tamaño. Por ello, a las bajas frecuencias es preferible utilizar implementaciones badasas en dispositivos concentrados (típicamente inductores, condensadores y transformadores) que llevan a diseños muy compactos en detrimento, pero, de las prestaciones y del ancho de banda operativo. De hecho, las implementaciones con dispositivos concentrados suelen padecer de un desequilibrio de amplitud que depende de la frecuencia. Asimismo, los baluns implementados con transformadores pueden utilizarse para conectar líneas con impedancias diferentes.

Los baluns pueden dividirse en baluns de banda ancha y de banda estrecha. Todos aquellos dispositivos diseñados para telefonía celular, GPS, aplicaciones en la banda ISM de 2.4 GHz (por ejemplo, WLANs y WPANs) son de banda estrecha y tienen bandas operativas que varian entre 60 y 100 MHz y bandas porcentuales (es decir, la relación entre el ancho de la banda de paso y la frecuencia inferior de dicha banda) que varian entre un 3 y un 5%.

Fig. 1. Posibles implementaciones de un balun basado en transformador

La Figura 1 muestra dos posibles implementaciones de baluns que utilizan transformadores para realizar la conversión entre modo equilibrado y modo no equilibrado. Haciendo referencia a la Figura 1, observe que, el circuito de la izquierda realiza una conversión de modo no equilibrado a modo diferencial (es decir, equilibrado). La impedancia Z_L es una impedancia diferencial, por lo que, si cada puerto de la etapa diferencial tiene una impedancia igual a la impedancia Z_S del generador, será Z_L = 2Z_S. 

El número de espiras del transformador se encuentra a partir de la siguiente expresión:

Por consiguiente si Z_L=200 Ω y Z_S=50 Ω la relación de transformación entre primario y secundario es:

La Figura 2 muestra una posible realización monolítica de un balun.

Fig. 2. Implementación monolítica de un balun

Finalmente, la Figura 3 muestra una implementanción alternativa de un balun mediante una bobina de ``T''. La capacidad  C_P  representa la capacidad parásita de acoplamiento entre los terminales A y B del dispositivo.

Fig. 3. Implementación alternativa de un balun mediante una bobina de "T"

Se trata de un único inductor con una toma central X, formado por dos inductores idénticos mutuamente acoplados con coeficiente de acoplamiento k definido como:

donde M es la inductancia mútua.

Tal y como se ha mencionado de antemano, los baluns realizados con elementos concentrados tienen un ancho de banda operativo inferior al de una implementación con elementos distribuidos. De todas maneras, en aplicaciones de banda estrecha como telefponía celular (bandas requeridas entre 20 MHz y 75 MHz) y redes inalámbricas (WLANs) en la banda ISM de 2.4 GHz (banda requerida 100 MHz) son la opción preferida debido a su tamaño muy compacto. 

Debido a su tamaño reducido, es viable implementar estos dispositivos de forma monolítica apoyándolos sobre el substrato del circuito integrado creando sistemas complejos llamados System on Package en los que un cierto número de circuitos integrados y dispositivos son encapsulados apilándolos en un mismo módulo. Sin embargo, esto comporta una serie de restricciones a las que ceñirse durante el diseño del sistema integrado:

1. El grosor de un balun debe mantenerse lo más pequeño posible para reducir el grosor del sistema completo después del ensamblado. Esto excluye la utilización de implementaciónes multicapa para el balun. Con la restricción de utilizar una única capa de material dieléctrico para el balun, el tamaño del dispositivo es directamente proporcional a la constante dieléctrica K del material. Para reducir el tamaño del dispositivo de manera que el dispositivo sea físicamente realizable, es necesario utilizar substrato dieléctricos con K elevada.
2. Los materiales que se utilizan para sellar el encapsulado suelen ser diélectricos con pérdidas elevadas y elevado coefciente de absorbción de humedad. Para prevenir variaciones de las prestaciones del dispositivo con la temperatura, es necesario apantallarlo, lo que excluye su implementación mediante microstrip.  

La topología de enrejado (lattice) tal y como la que se muestra en la Figura 4 es la que se utiliza comúnmente para realizar baluns compactos con elementos concentrados (inductores y condensadores).

Fig. 4. Balun con topología de enrejado

Una combinación de dos redes, una paso-alto y otra paso-bajo dividen la señal en entrada en el puerto 1 in dos señales de salida, en los puertos 2 y 3, con la misma potencia pero con un desfase de 180º. Las dos redes paso-bajo y paso-alto pueden implementarse con un número mínimo de elementos pasivos (dos condensadores y dos inductores), que llevan a una implementación muy compacta pero con una respuesta en frecuencia de banda estrecha (típico de redes con topologías de "L"). Observe que la topología de la Figura 4 se presta también para realizar transformaciones de impedancia.

Las ecuaciones que permiten diseñar el dispositivo de la Figura 4 son:

donde R_S es la resistencia de la fuente de señal, R_L es la resistencia de la carga y ω₀=2πf₀ es la frecuencia operativa del dispositivo.

Si las restricciones de proceso, coste y área impiden de poder optar a una implementación de un balun pasivo, existe la posibilidad de implementar un balun utilizando circuitos activos. La forma más sencilla de implementar un balun activo es utilizando una etapa diferencial. Otra alternativa, que se muestra en la Figura 5, consiste en combinar una etapa inversora de tipo common source con una no inversora de tipo common gate.

Fig. 5. Una posible implementación de un balun activo

El transistor M1 es una etapa amplificadora common gate, mientras que el transistor M2 es una etapa common source. Ambos amplificadores están polarizados con la misma tensión DC VB. Las resistencia de carga RL1 y RL2 están dimensionadas para alcanzar la ganancia deseada; de hecho, esta es la principal ventaja de un balun activo respecto a su controparte pasiva. Otra ventaja es un comportamiento de banda ancha; es decir, la capacidad de generar en su salida señales con un desfase de 180º para un rango muy amplio de frecuencias.

El problema de una implementación con circuitos activos es el ruido térmico inyectado en el sistema por parte de los transistores y un desequilibrio de fase y de amplitud mayor respecto a una implementación con elementos pasivos.

Conexión en Cascada de Cuadripolos y Matriz de Transmisión

Cuando dos cuadripolos caracterizados por sus respectivas matrices de parámetros scattering están conectados en cascada sería deseable disponer de una representación que permita modelar el comportamiento del sistema de forma sencilla. Los parametros de transmisión, o parámetros T, son definidos en términos de ondas de tensión incidentes y reflejadas tal y como los parámetros scattering. La diferencia fundamental entre parámetros T y S es que los primeros relacionan las ondas incidentes y reflejadas en el puerto de entrada con las en el puerto de salida minetras que los segundos relacionan las ondas de tensión reflejadas con las incidentes; es decir:

donde:

es la matriz de transmisión y:

es la matriz scattering.

La matriz de transmisión es una herramienta que permite manejar de forma sencilla el estudio del comportamiento de cuadripolos conectados en cascada tal y como se muestra en la Figura 1.

Fig. 1. Conexión en cascada de cuadripolos

La matriz de transmisión T de la conexión en cascada de dos cuadripolos con matrices de tranmisión T₁ y T₂ respectivamente, se puede calcular como el producto de de las matrices de transmisión de cada uno de ellos, es decir:

Los parámetros T de un cuadripolo pueden calcularse a partir de sus parámetros S de la siguiente forma: