Filtros Analógicos. Parte IV: Filtros con Sintonía Escalonada

Ésta es la cuarta y última parte de mi artículo sobre diseño de filtros anlógicos en la que voy a describir una técnica muy utilizada en el diseño RF para realizar filtros de tipo pasobanda. Esta técnica consiste en conectar en cascada varios amplificadores sintonizados con frecuencias de resonancia ligeramente desplazadas. Esta técnica se conoce como sintonía escalonada (staggered tuning).

Estos amplificadores, en general, están diseñados para que la respuesta global exhiba un comportamiento máximamente plano alrededor de una frecuencia central f₀. Esta respuesta se puede obtener transformando la respuesta de un filtro pasobajo de Butterworth desplazándola alrededor de una frecuencia w₀ y obteniendo un comportamiento pasobanda.

La función de transferencia de un filtro pasobanda del segundo orden puede expresarse explicitando sus polos tal como se muestra a continuación:

Para un filtro de banda estrecha, Q>>1. Para valores de s muy próximos a jw₀ (tal y como se muestra en la Fig. 1(b)), el segundo término producto del denominador de H(s) es aproximadamente igual a s+jw₀»2s. 

Fig. 1 Cómo obtener una respuesta de banda estrecha del segundo orden a partir de un filtro prototipo del primer orden: (a) polos del filtro del primer orden en el plano p, (b) transformación s=p+jw₀ y adición de un polo complejo y conjugado para realizar la tranformación pasobanda, (c) Módulo de la respuesta del filtro pasopabjo del primer orden, (d) Módulo de la respuesta del filtro pasobanda del segundo orden 

Por tanto, en un entorno de jw₀, la función de transferencia H(s) puede aproximarse de la siguiente forma:

Esta aproximación se conoce como aproximación de banda estrecha. La respuesta pasobanda es simétrica respecto a la frecuencia central w₀. Esto significa que las frecuencias de corte inferior y superior que delimitan la banda de paso, w_L y w_H respectivamente, son tales que w_Lw_H =w²₀. Para valores de Q elevados, la simetría es casi aritmética para frecuencias muy próximas a w₀. Es decir, dos frecuencias a las que les corresponde la misma magnitud de la respuesta están casi equiespaciadas desde w₀. Lo mismo es válido para filtros pasobanda de orden superior diseñados utilizando las transformaciones explicadas en este artículo.

Observe que la respuesta H(s), por s=jw, tiene un pico igual a a₁Q/w₀ cuando w=w₀. Considere ahora una respuesta pasobajo del primer orden con un polo sencillo p=-w₀/2Q:

donde K es una constante. Comparando la respuesta del primer orden con la aproximación de banda estrecha calculada anteriormente observamos que las dos respuestas son idénticas cuando p=s-jw₀, o de forma equivalente, cuando:

Este resultado implica que la respuesta de un filtro pasobanda del segundo orden es idéntica, en un entorno de su frecuencia central s=jw₀, a la respuesta de un filtro pasobajo del primer orden con un polo -w₀/2Q, en un entorno de p=0. Por consiguiente, la respuesta pasobanda puede obtenerse desplazando el polo del prototipo pasobajo y añadiendo a la respuesta un polo complejo y conjugado tal y como se muestra en la Fig. 1(b). Este procedimiento se conoce con el nombre de trasformación pasobajo-pasobanda para filtros de banda estrecha.

La transformación p=s-jw₀ puede aplicarse a filtros pasobajo de orden superior al primero. Por ejemplo, es posible transformar una respuesta pasobajo máximamente plana (con Q=1/Ö2) del segundo orden para obtener una respuesta pasobanda máximamente plana.

Recuerde que la respuesta de Butterworth del segundo orden normalizada (es decir, con w₀=1) es:

pero s=jw, por tanto:

La frecuencia de 3-dB es la frecuencia a la que el módulo de se ha reduce de un factor Ö2. Teniendo en cuenta que estamos considerando frecuencias normalizadas, la frecuencia de 3-dB es w=w₀=1, por tanto:

Si B es las banda de 3-dB del filtro pasobanda, entonces el filtro pasobajo prototipo debe tener un polo (y por tanto un ancho de banda) en B/2 rad/s tal y como se muestra en la Fig. 2. 

Fig. 2 Cómo obtener los polos y la respuesta en frecuencia de un filtro del cuarto orden con sintonía escalonada transformando la respuesta de un filtro pasobajo prototipo del segundo orden

El filtro pasobanda resultante será del cuarto orden con sintonía escalonada y dos circuitos sintonizados (es decir, dos tanques LC). El primer circuito sintonizado tiene un polo a la frecuencia w₀₁, un ancho de banda B₁ y un factor de calidad Q₁ definidos como:

Análogamente, los parámetros del segundo circuito sintonizado son:

Observe que la respuesta global tendrá una ganancia en la banda de paso unitaria mientras que las respuestas individuales de cada una de las dos etapas sintonizadas tendrán una ganancia en la banda de paso de Ö2 tal y como se muestra en la Fig. 2(d).