Filtros Analógicos. Parte IV: Filtros con Sintonía Escalonada

Ésta es la cuarta y última parte de mi artículo sobre diseño de filtros anlógicos en la que voy a describir una técnica muy utilizada en el diseño RF para realizar filtros de tipo pasobanda. Esta técnica consiste en conectar en cascada varios amplificadores sintonizados con frecuencias de resonancia ligeramente desplazadas. Esta técnica se conoce como sintonía escalonada (staggered tuning).

Estos amplificadores, en general, están diseñados para que la respuesta global exhiba un comportamiento máximamente plano alrededor de una frecuencia central f₀. Esta respuesta se puede obtener transformando la respuesta de un filtro pasobajo de Butterworth desplazándola alrededor de una frecuencia w₀ y obteniendo un comportamiento pasobanda.

La función de transferencia de un filtro pasobanda del segundo orden puede expresarse explicitando sus polos tal como se muestra a continuación:

Para un filtro de banda estrecha, Q>>1. Para valores de s muy próximos a jw₀ (tal y como se muestra en la Fig. 1(b)), el segundo término producto del denominador de H(s) es aproximadamente igual a s+jw₀»2s. 

Fig. 1 Cómo obtener una respuesta de banda estrecha del segundo orden a partir de un filtro prototipo del primer orden: (a) polos del filtro del primer orden en el plano p, (b) transformación s=p+jw₀ y adición de un polo complejo y conjugado para realizar la tranformación pasobanda, (c) Módulo de la respuesta del filtro pasopabjo del primer orden, (d) Módulo de la respuesta del filtro pasobanda del segundo orden 

Por tanto, en un entorno de jw₀, la función de transferencia H(s) puede aproximarse de la siguiente forma:

Esta aproximación se conoce como aproximación de banda estrecha. La respuesta pasobanda es simétrica respecto a la frecuencia central w₀. Esto significa que las frecuencias de corte inferior y superior que delimitan la banda de paso, w_L y w_H respectivamente, son tales que w_Lw_H =w²₀. Para valores de Q elevados, la simetría es casi aritmética para frecuencias muy próximas a w₀. Es decir, dos frecuencias a las que les corresponde la misma magnitud de la respuesta están casi equiespaciadas desde w₀. Lo mismo es válido para filtros pasobanda de orden superior diseñados utilizando las transformaciones explicadas en este artículo.

Observe que la respuesta H(s), por s=jw, tiene un pico igual a a₁Q/w₀ cuando w=w₀. Considere ahora una respuesta pasobajo del primer orden con un polo sencillo p=-w₀/2Q:

donde K es una constante. Comparando la respuesta del primer orden con la aproximación de banda estrecha calculada anteriormente observamos que las dos respuestas son idénticas cuando p=s-jw₀, o de forma equivalente, cuando:

Este resultado implica que la respuesta de un filtro pasobanda del segundo orden es idéntica, en un entorno de su frecuencia central s=jw₀, a la respuesta de un filtro pasobajo del primer orden con un polo -w₀/2Q, en un entorno de p=0. Por consiguiente, la respuesta pasobanda puede obtenerse desplazando el polo del prototipo pasobajo y añadiendo a la respuesta un polo complejo y conjugado tal y como se muestra en la Fig. 1(b). Este procedimiento se conoce con el nombre de trasformación pasobajo-pasobanda para filtros de banda estrecha.

La transformación p=s-jw₀ puede aplicarse a filtros pasobajo de orden superior al primero. Por ejemplo, es posible transformar una respuesta pasobajo máximamente plana (con Q=1/Ö2) del segundo orden para obtener una respuesta pasobanda máximamente plana.

Recuerde que la respuesta de Butterworth del segundo orden normalizada (es decir, con w₀=1) es:

pero s=jw, por tanto:

La frecuencia de 3-dB es la frecuencia a la que el módulo de se ha reduce de un factor Ö2. Teniendo en cuenta que estamos considerando frecuencias normalizadas, la frecuencia de 3-dB es w=w₀=1, por tanto:

Si B es las banda de 3-dB del filtro pasobanda, entonces el filtro pasobajo prototipo debe tener un polo (y por tanto un ancho de banda) en B/2 rad/s tal y como se muestra en la Fig. 2. 

Fig. 2 Cómo obtener los polos y la respuesta en frecuencia de un filtro del cuarto orden con sintonía escalonada transformando la respuesta de un filtro pasobajo prototipo del segundo orden

El filtro pasobanda resultante será del cuarto orden con sintonía escalonada y dos circuitos sintonizados (es decir, dos tanques LC). El primer circuito sintonizado tiene un polo a la frecuencia w₀₁, un ancho de banda B₁ y un factor de calidad Q₁ definidos como:

Análogamente, los parámetros del segundo circuito sintonizado son:

Observe que la respuesta global tendrá una ganancia en la banda de paso unitaria mientras que las respuestas individuales de cada una de las dos etapas sintonizadas tendrán una ganancia en la banda de paso de Ö2 tal y como se muestra en la Fig. 2(d).

Filtros Analógicos. Parte III: Respuestas de Butterworth y Chebychev

Esta es la tercera parte de mi artículo sobre diseño de filtros analógico. En esta parte analizaré con detalle las características de los polinomios de Butterworth y Chebychev que se utilizan para aproximar la respuesta de un filtro pasobajo. El motivo de esta elección es que para el filtro pasobajo existen excelentes aproximaciones de su respuesta que no requieren la utilización de programas de diseño específicos o tablas de coeficientes.

Fig. 1 Magnitud de la respuesta de un filtro de Butterworth

Es posible derivar de forma muy sencilla las expresiones para los filtros pasoalto, pasobanda y de grieta a partir de la respuesta del filtro pasobajo mediante sencillas fórmulas de transformación.

La Fig. 1 muestra  la magnitud de la respuesta de un filtro de Butterworth. La respuesta decrece monotónicamente y todos sus ceros de transmisión se hallan en w=¥, por tanto la respuesta es de tipo “all-pole”.

La magnitud de un filtro de Butterworth de orden n con un ancho de banda w_c es:

En la frecuencia w=w_c la magnitud de la función de transferencia se vuelve:

Por consiguiente, el parámetro e determina la máxima variación de la ganancia en la banda de paso del filtro A_max de acuerdo con la siguiente relación:

De forma, análoga, dado A_max, e puede calcularse como:

Fig. 2 Magnitud de la respuesta de Butterworth por ε=1 y distintos valores
del orden n

Observe que en la respuesta de Butterworth la máxima desviación respecto al valor ideal unitario se alcanza en w_c, es decir, en el límite de la banda de paso. También es posible demostrar que las primeras 2n-1 derivadas de |H| respecto a w son cero en w=0. Esta propiedad hace que la respuesta del filtro sea muy plana en un entorno de w=0, por ello una respuesta de Butterworth se conoce también como respuesta máximamente plana.

Cuanto más elevado es el orden del filtro, más llana es la respuesta en la banda de paso ya que va aproximado la respuesta de un filtro pasobajo ideal tal y como se muestra en la Fig. 2. El comportamiento del filtro al límite w_s de la banda de corte puede deducirse sustituyendo w=w_s en la respuesta:

Expresando la magnitud en dB se obtiene:

Esta ecuación puede utilizarse para determinar el orden del filtro; es decir, el valor más pequeño de n que lleva a A(w_s)³A_min.

Fig. 3 Construcción gráfica para determinar los polos de un filtro de Butterworth de orden n: (a) caso general, (b) caso de 2 polos, (c) caso de 3 polos y (d) caso de 4 polos

Los modos naturales de un filtro de Butterworth de orden n puede determinarse gráficamente tal y como se muestra en la Fig. 3(a). Observe que los modos naturales se hallan sobre una circunferencia de radio w_c(1/e)^(1/n) y están separados  por ángulos idénticos de π/n radianes, con el primer modo que está separado del eje jw por un ángulo de π/2n radianes. Todos los modos naturales tienen la misma distancia radial desde el origen de los ejes del plano complejo, esto significa que los polos tienen todos la misma frecuencia. Las figuras de 3(b) a 3(d) muestran los modos naturales para filtros con respuesta de Butterworth de orden n=2, 3, 4, respectivamente. Una vez hallado los modos naturales del circuitos p₁, p₂, . . . , p_n, la función de transferencia resulta ser:

donde K es una constante igual a la ganancia DC del filtro.

Fig. 4 Respuestas de Chebychev para (a) un  filtro de orden n=4 y (b) un filtro de orden n=5.

La Fig. 4 muestra las respuestas de Chebychev para un filtro de orden par y uno de orden impar, respectivamente. Un filtro de Chebychev muestra una respuesta con un rizado uniforme (equiripple) en la banda de paso y una transmisión que decrece de forma monotona en la banda de corte.

Observe que la ganancia es máxima en w=0 para un filtro de orden impar y tiene la máxima desviación en w=0 para un filtro de orden par. En ambos casos, el número total de máximos y mínimos en la banda de paso representa el orden n del filtro. Todos los ceros de transmisión de la respuesta de Chebychev se hallan en w=¥, por tanto la respuesta es de tipo “all-pole”.

La magnitud de una respuesta de Chebychev con una anchura w_c de la banda de paso (o banda de rizado) es:

en w=w_c la magnitud de la respuesta es:

Por consiguiente, el parámetro e determina la máxima variación de la ganancia en la banda de paso del filtro A_max de acuerdo con la siguiente relación:

De forma, análoga, dado A_max, e puede calcularse como:

La atenuación alcanzada por un filtro de Chebychev al límite w_s de la banda de corte puede deducirse sustituyendo w=w_s en la respuesta:

Esta ecuación puede utilizarse, con la ayuda de una calculadora, para determinar el orden del filtro; es decir, el valor más pequeño de n que lleva a A(w_s)³A_min.

Tal y como para el filtro de Butterworth, también en el caso del filtro de Chebychev la magnitud de la respuesta aproxima la respuesta de un filtro ideal a medida de que aumenta el orden n.

Los polos de un filtro de Chebychev se hallan sobre una elipse y se pueden calcular como:

con k=1,2,…,n.

Finalmente, la función de transferencia del filtro de Chebychev resulta ser:

El filtro de Chebychev proporciona una mejor aproximación de la respuesta ideal respecto al filtro de Butterworth. Esto significa que para el mismo valor de A_max y el mismo orden n, el filtro de Chebychev tiene una mejor atenuación en la banda de corte.

Los filtros pasobajo prototipo que se han desarrollado anteriormente pueden utilizarse para realizar una respuesta cualquiera utilizando una serie de transformaciones específicas.

Fig 4. Dos posibles configuraciones de filtros pasobajo prototipo: (a) serie-shunt y (b) shunt-serie 

Un filtro pasobajo prototipo como los que se muestran en la Figura 4, tiene los valores de sus componentes normalizados respecto a la frecuencia angular de 1 rad/s y a una impedancia de 1 W.

En el filtro prototipo, los elementos series representan inductores y los elementos en shunt representan condensadores. Los valores de los elementos normalizados se hallan en tablas específicas para los distintos tipos de filtro. La tabla a continuación muestra los coeficientes normalizados para filtros de Butterworth de vario orden.

Orden	Elemento
n	1	2	3	4	5	6
2	1.414	1.414
3	1.000	2.000	1.000
4	0.7654	1.848	1.848	0.7654
5	0.6180	1.618	2.000	1.618	0.6180
6	0.5176	1.414	1.932	1.932	1.414	0.5176

Transformación pasoalto

Para transformar el filtro pasobajo prototipo en uno de tipo pasoalto hay que realizar la transformación siguiente:

Esto significa que los inductores normalizados de valor g_k deben ser sustituidos con condensadores normalizados con valor 1/g_k y que los condensadores en shunt con valores normalizados g_k deben ser sustituidos con inductores normalizados con valor 1/g_k.

Una vez realizada la transformación hay que denormalizar los valores de los componentes teniendo en cuenta los valores de la frecuencia de corte y de las resistencias del generador y de la carga.

Recordando que la impedancia de un condensador es  Z_C=1/jwC y que la de un inductor es Z_L=jwL, los valores denormalizados pueden calcularse tal y como se muestra a continuación:

Siendo R la resistencia del generador y de la carga.

Transformación pasobanda

Para transformar el filtro pasobajo prototipo en uno de tipo pasobanda con frecuencias de corte inferior y superior  w_L y w_H respectivamente, hay que realizar la transformación siguiente:

donde:

Observe que la frecuencia w₀ es definida como la media geométrica de las frecuencias de corte superior e inferior del filtro, mientras que Δ es la banda fraccionaria.

Esta transformación equivale a sustituir un inductor serie con un resonador serie cuyos valores denormalizados son:

Por otro lado un condensador en shunt se sustituye con un resonador paralelo cuyos valores denormalizados son:

Transformación grieta (rechazo de banda)

Para transformar el filtro pasobajo prototipo en uno de grieta con frecuencias  que delimitan la grieta inferior y superiormente  w_L y w_H respectivamente, hay que realizar la transformación siguiente:

Esta transformación equivale a sustituir un inductor serie con un resonador paralelo cuyos valores denormalizados son:

Por otro lado un condensador en shunt se sustituye con un resonador serie cuyos valores denormalizados son:

La Fig. 5 resume todas las transformaciones.

Fig. 5 Resumen de las transformaciones aplicables al filtro pasobajo prototipo